2変数関数の問題

点(x,y)がx+2y=1を満たすとき、関数g(x,y)=x^2+2y^2の最小値を求めよ。

g(x,y)=x^2+2y^2は正値定符号であるから、凸関数。
点(x,y)が条件x+2y=1を満たして動くとき、凸関数g(x,y)=x^2+2y^2は明らかに最小値を持つ。
ラグランジュ関数を次式で定義する。
L(x,y,λ)=x^2+2y^2+λ(x+2y-1)
ただし、λは未定乗数。
x,y,λに関する1階条件は以下の通り。
∂L/∂x=2x+λ=0…①
∂L/∂y=4y+2λ=0…②
∂L/∂λ=x+2y-1=0…③
①②よりx=ｙ
これを③に代入して解くと、x=1/3=y

よってg(x,y)は(x,y)=(1/3)で最小値1/3をとる。

これはあっていますでしょうか。
特に
「g(x,y)=x^2+2y^2は正値定符号であるから、凸関数。
点(x,y)が条件x+2y=1を満たして動くとき、凸関数g(x,y)=x^2+2y^2は明らかに最小値を持つ。」
という記述は間違っていないですか？
いまいちラグランジュの使い方がわかってないです。
毎回機械的にやっているので、、、

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/08/19 16:13

g(x,y)=x^2+2y^2 は、正値定符号でなく、正値半定符号です。

二次形式は、正値定符号のとき狭義凸関数、正値半定符号のとき(広義)凸関数です。
「g(x,y)=x^2+2y^2 は正値定符号であるから、凸関数」というのは、
解って書いているのか、勘違いしているのか、微妙な文ですね。
「条件x+2y=1を満たして動くとき、〜明らかに最小値を持つ」というのも、
何がどうして明らかなのか、ちょっと疑問です。
しかし、ラグランジュ法を使うとき、最小値の存在を事前に保証する必要はないので、
その辺の考察は無しでかまわないのです。

①②③ から (x,y)=(1/3,1/3) が g(x,y) の唯一の臨界点であることを求めたとき、
この点における g(x,y) のヘッセ行列を具体的に求めておくと、その固有値が両方正
であることが判って、この点が g(x,y) の極小点であると判定できます。
|(x,y)|→+∞ のとき g(x,y)→+∞ なので、唯一の極小値 g(1/3,1/3) は最小値になります。

ところで、制約条件が一次式の場合にラグランジュ法を使うのは、大袈裟です。
制約を代入してしまえば、変数がひとつ減って簡単に最小値を求められます。
x+2y=1 の条件下には、g(x,y)=g(1-2y,y)=(1-2y)^2+2y^2=6y^2-4y+1 であって、
これは二次関数の最小値を求める問題に過ぎません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。返信が遅れてしまい大変申し訳ございませんでした。ラグランジュ、無理して使う問題ではありませんでしたね。でも色々なやり方を覚えたかったもので、、。

定符号性がイマイチわからないのですが、、
g(x,y)=x^2+2y^2=(xy)(10 02)(xy)となりますが、
(10
02)は、正値定符号ですよね？だからといってg(x,y)が正値定符号にはならないということでしょうか？
g(x,y)のヘッセ行列は(2 0 0 4)でこれも正値定符号ですよね。

半正値定符号でも正値定符号でも凹関数になるのは分からんですけど、、

なんだかこんがらがってきました。

お礼日時：2020/08/23 01:11