証明問題なのですが分かりません…どなたか助けてください… 任意の四辺形 ABCD の対角線 AC、B

証明問題なのですが分かりません…どなたか助けてください…

任意の四辺形 ABCD の対角線 AC、BD の中点をそれぞれ M、N とする。
このとき
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + 4MN^2 が成り立つことを示せ。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2020/08/21 07:43

【ベクトル表示による証明】

A,B,C,D,M,Nの位置ベクトルをそれぞれa,b,c,d,(a+c)/2,(b+d)/2とすると、
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2
=|a-b|^2+|b-c|^2+|c-d|^2+|d-a|^2
=2|a|^2+2|b|^2+2|c|^2+2|d|^2-2ab-2bc-2cd-2da
=|a-c|^2+|b-d|^2+|a|^2+|b|^2|+|c|^2|+d|^2|+2ac+2bd-2ab-2bc-2cd-2da
=AC^2+BD^2+|a|^2+|b|^2|+|c|^2|+d|^2|+2ac+2bd-2ab-2bc-2cd-2da
一方、
4MN^2
={(a+c)-(b+d)}^2
=|a|^2+|b|^2|+|c|^2|+d|^2|+2ac+2bd-2ab-2bc-2cd-2da
よって
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4MN^2