
数Ⅱ 三角関数
問 0≦θ<2πのとき,方程式2cos2θ+4cosθ+3-α=0の解の個数を,定数αの値の範囲によって調べよ。
解答
方程式を変形すると
2(2cos²θ-1)+4cosθ+3-α=0
よって 4cos²θ+4cosθ+1=α
y=4cos²θ+4cosθ+1, cosθ=tとおくと
y=4t²+4t+1=4(t+1/2)² ………①
また -1≦t≦1
-1≦t≦1における,
関数①のグラフと直線y=αの共有点の個数を
調べると,
α<0,9<αのとき 0個
α=0,1<α<9のとき
-1<t<1の範囲に1個
0<α<1のとき
-1<t<1の範囲に2個
α=1のとき
-1<t<1の範囲に1個と,
t=-1のときの1個
α=9のとき
t=1のときの1個
cosθ=t(0≦θ<2π)の解の個数は
t=±1のとき1個,-1<t<1のとき2個であるから,
求める解の個数は
α<0のとき0個,α=0のとき2個,
0<α<1のとき4個,α=1のとき3個,
1<α<9のとき2個,α=9のとき1個,
9<αのとき0個
・なぜ関数①のグラフと直線y=αの共有点の個数を
調べると答えが求められるのか?
・調べるとなぜこのようになるのか?
が分かりません。。
分からなくて困っているの教えて下さい!お願いします☺︎
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
y=4t^2+4t+1=4(t+1/2)^2 但し -1≦t≦1 のグラフは添付の赤実線の通り。
これとにらめっこしながら解説。その赤実線とy=aの交点を調べてみる。
例えば、α=-1/2の場合、下の実線だが、この場合は交点がない。
例えば、α=0(つまりx軸)の場合、交点は1つとなる。
例えば、α=1/2の場合、交点は2つある。
例えば、α=9/2=4.5の場合、交点は1つある。
例えば、α=10の場合、交点はない。
これをまとめると、
----------
α<0,9<αのとき 0個
α=0,1<α<9のとき
-1<t<1の範囲に1個
0<α<1のとき
-1<t<1の範囲に2個
α=1のとき
-1<t<1の範囲に1個と,
t=-1のときの1個
α=9のとき
t=1のときの1個
----------
となるのだが、私はこう書きたい。
----------
α<0のとき、tはない。
α=0のとき、tは1つある。
0<α≦1のとき、tは2つある。
1<α≦9のとき、tは1つある。
9<αのとき、tはない。
----------
ただ、実際求めたいのはtではなくてθなのだから、0≦θ<2πの範囲で各々吟味する。
----------
α<0のとき、tはない。ということは、そんなθもない。
α=0のとき、tは1つあってt=-1/2。→cosθ=-1/2→θ=(2/3)π、(4/3)πと2つある。
0<α<1のとき、tは2つある。その一つは -1<cosθ<-1/2 であり、もう一つは-1/2<cosθ<0 である。その各々に対して解となるθは2つずつある(※これは単位円を描いてみるとよくわかる。)ので、θは4つあることになる。
α=1のとき、t=-1、0となる。t=-1→cosθ=-1→θ=π、t=0→cosθ=0→θ=(1/2)π、(3/2)πの3つ。
1<α<9のとき、tは1つある。それは0<cosθ<1を意味しているので、θは2つ存在することになる。
α=9のとき、tは1つある。それは、cosθ=1を意味しているので、θ=0となる(1つ存在する)。
9<αのとき、tはない。
以上をまとめると、
----------
α<0のときは0こ
α=0のときは2つ
0<α<1のときは4つ
α=1のときは3つ
1<α<9のときは2つ
α=9のときは1つ
9<αのときは0こ
----------
となる。

なるほど!とても分かりやすい解説ありがとうございます☺︎最初は全く理解できませんでしたがやっと分かりました✧グラフもありがとうございました!とても分かりやすかったのでベストアンサーに選ばさせてもらいます☺︎
No.3
- 回答日時:
2cos(2θ) + 4cosθ + 3 - α = 0 は、 cosθ = t と置くと
4(t + 1/2)² = α と変形できる。 これがほぼ全て。
この式を満たす t の個数は、y = 4(t + 1/2)² かつ y = α
を満たす点 (t,y) の個数と同じなので、
y = 4(t + 1/2)² と y = α のグラフの交点で考えることができる。
ただし、 t の値が ±1 かどうかはチェックする必要があり、
t = ±1 については、その t に対応する θ が 1 個、
t ≠ ±1 については、その t に対応する θ が 2 個ある。
この部分は、y = cosθ のグラフを思い浮かべて
t の各値について y = cosθ と y = t の交点 (θ,y) を
考えれば判ると思う。
以上を集計すれば、質問文中の解答のようになる。
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たくさんの回答ありがとうございます☺︎
しかし私の勉強不足で「cosθ=t(0≦θ<2π)の解の個数はt=±1のとき1個,-1<t<1のとき2個であるから〜」からがまだよく分かりません。
t=±1のとき1個は多分理解出来たのですが、-1<t<1のとき2個になるのはなぜかが分かりません。できれば図などで教えて頂くとありがたいです!
また、「0<α<1のとき-1<t<1の範囲に2個」と出たのになぜ最後の答えでは4個になっているのはなぜですか?
本当に初歩的な問題かも知れませんが細く教えて欲しいです。お願いいたします☺︎