(5√2cos1/10π+i5√2sin1/10π)5と等しいのは2iなのですが、 計算方法がわかり

(5√2cos1/10π+i5√2sin1/10π)5と等しいのは2iなのですが、
計算方法がわかりません教えてください！

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/15 21:28

え''〜

更に 5√2 が 5 乗根か...
こんなの流石に「ごルートに」以外読みよう無いでしょ。
これは酷い。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/09/15 21:17

( (5√2)cos(π/10) + i(5√2)sin(π/10) )5

= (5√2)5( cos(π/10) + i sin(π/10) )
= (25√2)( cos(18°) + i sin(18°) ).

cos(18°), sin(18°) の値は、幾何学的に求めることができます。
よくある 36° の三角比を求める方法から cos(36°) を計算して、
半角公式を使えばいい。 参考↓
https://math.nakaken88.com/textbook/expert-trigo …
cos(18°) = (√(10+2√5))/4,
sin(18°) = (√5 - 1)/4.

与式 = 2i には、なりませんね。

式の末尾の 5 が 5 乗の意味かと思わないこともないんだけど、
それでも、
( (5√2)cos(π/10) + i(5√2)sin(π/10) )^5
= (5√2)^5 ( cos(π/10) + i sin(π/10) )^5
= (5^5) (√2^5) ( e^(iπ/10) )^5
= (5^5) (2^2)√2 e^(iπ/2)
= 12500√2 i.

これも、 = 2i ではない。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/15 21:07

(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)⁵ってこと？

ならば複素数平面で考えて（極形式で考えて）
複素数：(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)＝⁵√2(cos1/10π+isin1/10π)　の絶対値（大きさ）が⁵√2で、偏角が(1/10)π
そして、(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)⁵は、(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)を5個分掛け算したもの
複素数の積の性質として
積の絶対値は　もとの複素数の絶対値を掛け算したものになるから
(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)⁵の絶対値は(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)の絶対値５個分を掛け算したものとなり、(⁵√2)⁵=2
積の偏角は　元の複素数の偏角の和になるから
(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)⁵の偏角は(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)の偏角5個分の和で　(1/10)πx5=π/2
ゆえに
(⁵√2cos1/10π+i⁵√2sin1/10π)⁵=2(cos(π/2)+isin(π/2))=2(0+i1)=2i

No.2 回答者： 半可通 回答日時： 2020/09/15 20:54

式は正しく書きましょう。

5√2 じゃなくて 2の5乗根でしょ。
最後の5は５乗だね。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/15 20:40

なにか勘違いしていませんか？