ベクトルについて。

締めに このベクトルを図示することをイメージです（図を描いてみてください） （ここで基本の確認から ベクトルの足し算：AB＋BCを図示するとき は、まずはAからスタートしてBに至る矢印を書き、さらにBからCへ延びる矢印を描きますよね！ 締めに矢印のスタート地点Aと矢印の先端の最終到達点Cを結んで ACという矢印ができます
これが AB+BC=ACという足し算の図示ですよね！）
ORの図示につて、ベクトルの和の図示方法に従って、まずは (BCの中点の位置ベクトル）があるから
OからBCの中点に伸びる矢印を描きます！
さらに ＋sd があるから s=0なら その矢印の先は BCの中点の位置のままです
s=0.5なら 矢印の先端はBCの中点から0.5dだけ伸ばした位置に来ます
s=1ならば 矢印の先端はBCの中点からdだけ伸ばした位置に来ます
（3つだけ書きましたが 本来はもっとsの値を細かくわけて それぞれについて考えるべきです）
さて s=0のとき矢印の先端は中点にあるのだから 残る te の足し算を図示すると
t=0のとき 矢印の先端は中点のままです！
t=0.5なら 矢印の先端は中点からeの半分の位置へ来ますよね
t=1ならば 矢印の先端は中点からeの先端の位置へ来ますよ
ゆえにs=0で、 tは０から１の間で変化ということなら ORの矢印の先端がBC中点から延びるベクトルeと平行な線分の上にくるということです
(この線分の長さは言うまでもなく |e|)

同様にs=0.5で考えると 0≦t≦１では
BC中点からベクトルd方向へdの半分だけ行った位置をNとすれば
ORの矢印の先端は、Nから延びるベクトルeと平行で長さ|e|の線分の上にくるということです

また s=1で考えると
0≦t≦１では
BC中点からベクトルdの分だけ行った位置をMとすれば
Mから延びるベクトルeと平行で長さ|e|の線分の上に、ORの先端がくるということです

以上から言えることは、ｓとtを同時にそれぞれ０～１の範囲で動かせば、このORの矢印の先端はｄ、eを2辺とする長方形の内部のどこか、または辺上のどこかに必ず来るこということです
つまり ORの矢印の先端が描く軌跡は ｄ、eを2辺とする長方形

ゆえに
面積＝|d||e|として求められます
これの説明の図を書いていただけないでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。
(2)です。

質問者からの補足コメント

• 

  この図で、合っていますでしょうか？以下のURLの写真です。
  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/863

    補足日時：2020/09/27 18:11

• 

  dと↑OPが等しいのではないかということです。ご教授願います。

    補足日時：2020/09/28 03:31

• 

  まずはs=0だと決めつけてしまう
  このとき　tを０から１の範囲で動かしたら　ORの先端（R)はどの位置からどの位置まで動くか考える→ORの先端の軌跡は、BCの中点から延びる線分となる（直線でなくて線分）
  ここで、なぜ、BCの中点から延びる線分になるのでしょうか？どのように点を設定したのでしょうか？BCの中点から延びる線分というのが、意味がよく分かりません。これもご教授願います。すみません。

    補足日時：2020/09/28 18:48

• 

  こんな感じでしょうか？ご教授願います。すみません。以下のURLです。
  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/864

    補足日時：2020/09/29 15:30

• 

  すみません。↑CBでした。失礼しました。

    補足日時：2020/10/01 07:14

• 

  すみません。点Pの軌跡は、三角形ABCの周および内部でした。失礼しました。ご教授願います。

    補足日時：2020/10/03 04:34

• 

  それと、d、e が何の関係があるのかがわかりません。ご教授願います。すみません。

    補足日時：2020/10/06 15:20

• 

  一応途中までやってみましたが、軌跡がよくわかりませんでした。合っていますでしょうか？ご教授願います。すみません。
  https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/884

  No.42の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/08 18:48

No.10 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/30 16:05

まあ、いいでしょう

（できればA',B'はもう少し中点の位置に合わせて書いてもらいたいですが・・・
見た感じ、A'は1/3OAの位置に見えてしまいます
次から改善していってください）

では次のステップへ進みます(ベクトルの矢印は省略）
(1)の結果を用いて
→OR=(1/2)(b+c)+{（1／4)a ー(1／2)c}＋{(1／2)(a ーb)}
で
d=（1／4)a ー(1／2)c
e=(1／2)(a ーb)
とおく
という解答の流れでしたかね？（うろ覚えになってしまったので確認させてください）

確認だけでは何なので
もう一つ　作図のトレーニング問題を示しておきますから
作図してUPしてみてください（これが理解できると本題も完全理解が近いです！）

「画像の問題とは異なる平面図形に関する問題です
三角形ABCにおいて　次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ
→AP=(→AB)+t(→AC)
ただし、0≦t≦1」

先ほどまでとは違い2番めのベクトルの係数が変数tとなっています！
t=0のとき　2つの合成ベクトルの矢印の先端がどの位置に来るのか
（つまり　t=0のときPはどの位置に来るのか）
t=0.1のとき　2つの合成ベクトルの矢印の先端がどの位置に来るのか
t=0.2のとき　2つの合成ベクトルの矢印の先端がどの位置に来るのか
・
・
・
t=1のとき、2つの合成ベクトルの矢印の先端がどの位置に来るのか
それぞれ実際に作図して調べてみてください
そして、調べた点Pのそれぞれの位置から
Pの軌跡がどのような図形を描くか想像してみてください
UPする画像はこのうちt=0.5のバージョンのものでよいです
図形がどのような形状になるかは言葉でわかりやすく回答してください！！

この回答へのお礼

やはり、この問題から、よく分かりません。もう少しヒントをください。平行四辺形で考えるのでしょうか？点Pの存在範囲は。ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/09/30 18:44

No.9 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/30 14:04

まだ　作図が理解できていないようですね！（Eの位置が違います）

OE=(1/2)OA-(1/2)OB
⇔OE=(1/2)OA+(1/2)BO
なので
2つのベクトル
(1/2)OAと
(1/2)BOをまずしっかり図中に書くのです！！！
（あなたはそれを怠っているから正しい図が欠けていない！！）
①まず図中に　(1/2)OAが表す矢印を描く
それはOからAに向かう矢印
ただし係数が1/2だから長さをOAの半分にする
ここでOAの中点をA'とすれば
書くべき第一の矢印は　OからA'へ向かう矢印(Oが始点、A'が終点）
つまり矢印「O→A’」となる
②同じように　(1/2)BOが表す矢印も図中に描く
この矢印は　BからOに向かう向き　でBOの半分の長さ
ゆえに、BOの中点をB'とすれば
今書こうとしている矢印は　BからB'へ向かう矢印（始点がB、矢印の先端がB')
つまり矢印「B→B'」となる
➂この2つの矢印を合成する
そのためには、一方の矢印の先端に他方の矢印の始点が重なるように、矢印を平行にスライドするのだが
Oを基準としたベクトル（位置ベクトル）e=OEを考えているので
矢印「O→A’」は動かさないほうが良い！
そこで、2番目の矢印「B→B'」を平行にスライドして
A'の位置に2つ目の矢印の始点を移す
このときスライドした矢印の先端がEの位置を示している
今までに解説したとおりに、OとEを矢印で結んで→OEの作図の完了です

もう一度書いてみてください

この回答へのお礼

こんな感じでしょうか？ご教授願います。すみません。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/867

お礼日時：2020/09/30 14:47

No.8 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/29 22:39

点D'(→d)はOKです

Eの位置は違います
もう一度やり直してください
ひょっとしてABの中点だと誤解してませんか？
よく見てください
e=1／2(↑a ー↑b) 　
+ｂではなくて
-ｂです
D'の時のように矢印１、２を作図してEの位置を示してください！！
特に矢印２を作図するときはどのベクトルを○倍して
それをスライドするのか丁寧に扱ってみてください
⇔OE=(1/2)OA-(1/2)OB
⇔OE=(1/2)OA+(1/2)BOですよ
ベクトルOEを図示しようとしているので
結論としてはOからEに伸びる矢印を書いて
点E(→e)の図示の完成ですよ

また立体図の書き方は
四面体の場合　
まずOを最高点
底辺をABにして△OABを描きます
ABは水平にして
線分ABの垂直二等分線上またはそれより少しだけ右の位置にOを書くことがコツです
（OのABからの高さは適切に！）
そうしたら　OC=OBのに等辺三角形（だいたい二等辺三角形）になるようにCの位置を決めて残りの辺を結べば四面体の完成です
（うまくない場合は、Oの位置を微調整、Cの高さも微調整、BCをOCより短くするなどすればをより立体感が出ると思います）

あなたのように底辺をBCとして　Cの真上にOを書くなら
BCを左肩上がり（BはCより少し高い位置）に書くと良いです
そうしたら　OCを対象軸に　だいたい線対称になるようにAの位置を書き込んで
残りの辺を結べば立体感が出ます

これが基本で、基本立体図がうまく書けるようになったら
題意に合った四面体を描くことにチャレンジしてみると良いでしょう
（今回の問題は　題意に忠実な立体図でなくても解けると思います）

この回答へのお礼

この図で合っていますか？ご教授願います。すみません。この後はどのようにするのでしょうか？とりあえずURL先の図を見ていただけると幸いです。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/866

お礼日時：2020/09/30 13:32

No.7 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/29 17:51

1／4↑a ー1／2↑c ＝(1/4)OA-(1/2)(OC)

＝(1/4)OA+(1/2)(-OC)
=(1/4)OA+(1/2)(CO)…①

OAの長さの1/4のつもりで書いたなら、矢印１についてはOKです
しかし、矢印２はダメ
COベクトルを足し算するのだから　矢印2は辺CO（ベクトルCO)に平行に書くのです！
しかも係数は1/2ですから　COの半分の長さの矢印になります！
向きにも注意です　+(1/2)OCではなくて　-(1/2)OCを足すのだから
すなわち+(1/2)COというベクトルを足すのと同じです
ゆえに矢印２は
まずCOベクトル（CからOに向かう矢印）を1/2倍の長さにして
(つまり　COの中点をC'とすれば　CからC'へ向かう矢印（ベクトルCC')を
辺OC上に書いて）
その矢印の始点が、矢印１の先端の位置に重なるところまで平行にスライドさせるのです
すると、矢印２の先端(D')は四面体の外へ飛び出した位置にきますよね
締めに　OからD'へ向かう矢印を書けば
→OD'=1／4↑a ー1／2↑c というベクトルの計算の図示の完了なのです
今回あなたは、1/4OAを書いて、その矢印の先端から矢印２を書き足す
というところまでは　できていました　
今解説したようにその続きの作図の仕方を習得してくださいませ
それで、ベクトルの和の図示の基本を習得できたことになります

・念のため→dをもう一度図示してUPしてください
・さらに、もう一枚別の図をUPして
e=1／2(↑a ー↑b) で表される点の位置を示してください！（Eは問題文中に登場しないので　→e=→OE
つまり　位置ベクトル→eで定められる点をEとしてよいです）



これらが正しく書けるようであれば次の回答で1歩先のステップへ進みます！！

（なおできればもう少し四面体らしい立体感のある図を描くようにしてください
その際普通は頂点ABCは底面、Oは高い位置に書くのが普通の間隔です
まあ、そこまでこだわらなくても構いませんが　できるだけ見やすい図を描くことは自分の理解のために役立ちます！）

この回答へのお礼

こんな感じでしょうか？教えていただけないでしょうか？すみません。
https://6900.teacup.com/cgu135/bbs/865

お礼日時：2020/09/29 20:22

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/29 11:11

理解が完璧でない場合

いくら解説しても話がかみ合わないですから
新たな疑問に答える前に
→d=→OD'=1／4↑a ー1／2↑c 　で表される定点D'の位置を図示してUPしてみてください
その際
・図の上下左右、それぞれの端に余白を設ける（あなたUP下図2つは、いずれも端が切れていて第三者には意味が分からない。大学入試でこんな図をかけば採点官によっては、一目それを見ただけで一発ではじかれてしまうかも
昔は受験生の数も多くて採点作業が大変であったことから、見ずらい答案というだけで採点者がその答案の吟味は一切せず門前払いということがあったとか、なかったとか・・・）

・必要な点の名前（O,A,Bなど）は必ず明記する

・矢印１と矢印２を明記する

・矢印１と矢印２を書く際に意識した四面体の辺を明示する（意識した辺を太線にするなど）

・図は概形でよいが、ベクトルaの大体1/4の長さの矢印と
ベクトルcの大体1/2倍の長さの矢印を書くように心がける

・D'の位置が四面体の内部なのか、外部なのか、辺上にあるのか明記する

これらに注意して書いてみてください！

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/28 14:36

いや違います（図は全くの見当はずれのようです）

通常、→dとは点Dの位置ベクトルのことで
反対に言えば　Dは位置ベクトル→dによって定まる点ということになります
基準点（Oを基準にすることが多い)から見て、どの位置に点Dが存在しているか表しているのです
→d=→ODですが
図的には、ベクトルODの矢印の先端の位置に点Dが存在しているという意味です
点Dの表記の仕方としては単に点Dと各以外に　
「点D(→d)」などというものもあります
この表記の意味は、固定点Oに対してDの意味は　位置ベクトル,→d(=→OD)によって定まるという意味なんです

位置ベクトル　などなど
あなたは基本が理解できていないようですね

さて、たしか模範解答では
→d=1／4↑a ー1／2↑c…① と置いていましたかね？
OAの中点Dについては
→OD＝(1/2)(→OA)=(1/2)(→a)ですが
一次独立（平行でなく０でないベクトル）のベクトルを使うと
Dの位置はただ1通りに書き表すことができるので
本問では、→d=→ODではありません
（以前解説したときに、確かそういうことであったと記憶しています）
ここが重要ポイント！！！！！！
かつ、この模範解答の悪いところ（点Dの位置ベクトルと①が表す→dが別物なので
本来は文字dの代わりに別の文字を使うべき！　なのです）

ということで、①の左辺はDの位置を表す位置ベクトルではないのです
とはいえ、dはある点を指し示しています
①右辺はその詳細です
で、詳しくみると
右辺が(1/4)→a=(1/4)→OAで始まっているので
まず(1/4)→OAを図示すると,Oからスターとして→OAと同じ向きの矢印1を書くことになります
ただし係数が(1/4)なんでその長さはOAの1/4倍にします（実際に一度、私の解説通りの手順で矢印を書いてみてください！！！）
もし右辺に-1/2cがなければ　→dが表す位置はこの矢印１の先端ということになりますが
実際には-1/2cがあるのでさらに矢印を書き足します
-1/2c=-(1/2)OCなので　OCと並行で→OCとは真逆の向きで(→COの向きで）
しかも長さはOCの半分の矢印2を書き足すのです
どのように書き足すかと言えば、(1/4)aの矢印１の先端の位置から矢印２を書き始めます（矢印１の先端を矢印２の始点にする）
このようにして書き足した矢印２の先端の位置こそ→dが表す点の位置なのです！
便宜上この矢印２の先端の位置を　点D'とします(OAの中点Dとは異なるのでD'です）
作図的には　Oから今位置が決まったD'まで矢印を書いて完了で
この矢印OD'こそが→OD'であり　→ｄということです
このベクトルの作図法は理解していますか？・・・超基本ですよ！！

で、作図してみれば分かる通り
D'の位置はピタッと1点に決まりますよね！
つまり→dが指し示す点D'は固定点なんです

一方,
→CP=s(→CD)で
0≦s≦１です
s=0の時は、先ほど解説した方法で作図すると
→CP=0(→CD) だから
→CPの詳細である右辺を見て
CからスタートしてDの方向へ長さ０の矢印を書くことになります
ながさ０なんで　書いた矢印の先端はCの位置です
ゆえに　書いた矢印は始点がC、先端の位置もC、
つまりゼロベクトルです
ゆえにs=0のときは→CPはゼロベクトルで、
Pの位置はCと一致となります
（作図した矢印の先端の位置がPになります）
s=0.1の時は
→CP=0.1(→CD) だから右辺を見て
CからスタートしてD方向へ矢印を書くことになります
ながさはCDの0.1倍なんで　矢印の先端は CDを1:9に内分する点D1です
ゆえにこのときのPの位置は、作図した矢印の先端の位置からD1の位置と一致
つまりPはCDを1:9に内分点する点　となります

同様にして　s=0.2なら　PはCDを２:８に内分する点
・・・s=0.5なら　PはCDの中点
s=1なら　PはDと一致
ということになるので
sの値をs=0.00000・・・1から
s=0.99999・・・9まで細かく設定して
その時々の位置をその都度調べると
結局Pは線分CD上を動く（Pの軌跡が線分CDに一致）ということがわかるのです
ゆえに、Pは動点です
固定点のD'とは大違いでしょう！！！

これが理解できますか？
できないようなら画像の問題を解くなんて到底無理です（まず、基本を習得しないと・・・）

今日は力尽きたので　この解説が理解できない場合は、次回基本例題で解説いたします
理解できたなら、解釈を示してもらえば、正誤を解説します

この回答へのお礼

分かりました。ですが、固定点D｀は何のためにあるのでしょうか？d⊥e を示すためだけでしょうか？動点Pと何か関係があるのでしょうか？ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/09/28 18:28

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/27 13:45

理解できているのかどうか相当怪しいけれども

２つの動点を同時に動かして考えるのは難しいから
まずはs=0だと決めつけてしまう
このとき　tを０から１の範囲で動かしたら　ORの先端（R)はどの位置からどの位置まで動くか考える→ORの先端の軌跡は、BCの中点から延びる線分となる（直線でなくて線分）

次にsを変更
s=0.000000・・・01と決めてしまう
その状態で
同じように、tを０から１の範囲で動かしたら　ORの先端（R)はどの位置からどの位置まで動くか考える→ORの先端の軌跡は、BCの中点よりちょっとずれた位置から延びる線分となる

S=0.000000・・・02と決めてしまう
ORの先端の軌跡は、BCの中点よりさらにちょっとずれた位置から延びる線分となる

このようにSの値を細かく分けて　その時ごとのRの軌跡を求める
このようにやると、線分を何前何万本も並べた状態になるから
Rの軌跡（存在範囲は）平行四辺形
この問題では角度が特殊だから、平行四辺形から発展して長方形　となるのです
PやQ単独の軌跡ではないということは押さえておくべき！！（もっとも　模範解とはPとQではなくてdとeに置き換えているけどね！）

そもそも
「三角形ABCにおいて　次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ
→AP=s(→AB)+t(→AC)
1≦s+t≦２、　0≦s,　0≦t」
これは分かったのですか？
これがわからないようでは、質問の問題を理解することなど到底できません！


もっと言えば
「もしかして、d＝1／4↑a ー1／2↑cは、点Pと同じで、↑CD＝s↑CPと関係があるということでしょうか？ご教授願います。すみません。」
これも理解できていないのでは
d=OD
a=OA
c=OCとすれば
d=ODを作図するには
まず　(1/4)a=(1/4)OAがあるから
Oからスタートして　OAの長さの(1/4)倍の長さの矢印を線分OA上に書く
これに(-1/2)cを足し算するには（ベクトルの足し算）
(-1/2)c=(-1/2)OC=(1/2)COだから
一番目に書いた矢印の先端から、(1/2)OCと並行で同じ向きで同じ長さの矢印を書く
締めに　Oを始点として、2番目に書いた矢印の先端を終点とする矢印を書く
この矢印こそが　d=ODなのですが　これは分かっていますか

まずこの基本中の基本がわかっていないようでは、階段やエレベーターを使わずにビルの10階に上ろうとするのと同じで、無謀なことです
この基本の「き」の理解から確実にするべきです

基本の「き」の例題として
OB=OA+AB　
これを図に表すことはできますか？（OBをOAとABを使って作図することはできますか？）
あなたがどの段階のレベルなのか分かりかねるので
質問の問題もどの辺から解説すべきかわからない

この回答へのお礼

つまり、d＝ODとの点Dと点Pは同じということでしょうか？ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/09/27 17:25

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/26 23:49

多分いい線いっていると思います

まずはs=0だと仮定して　tだけを動かしてみてORの先端の位置を考えてみるのです
t=0のときは　ORの先端はどこに来ますか？
BCの中点ですよね
t=0.1では　ORの先端は？
t=0.2では　
・・・t=1では
細かくしらべて　ORの先端が描く軌跡を把握します
次に　s=0.1にして　tだけをうごかして　同じように軌跡を把握
その次は　s=0.2に仮定
・・・s=1まで細かく調べます
するとR（→OR）の先端の軌跡の全体像が見えてくると言うわけです（慣れてきたらこんなに細かく調べる必要はありません。初心のうちは理解を促進するためになるべく細かく調べるのです）

この回答へのお礼

点Pが、長方形の高さの軌跡の線で、点Qが、長方形の横の軌跡の線ということで合っていますか？ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/09/27 00:32

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/09/25 11:35

まずは、ベクトルの和の図示方法は理解していますか？

中学校の理科「力」の単元で習ったはずですし、ないしは高校数学「平面ベクトル」の単元の初っ端に出てくることですから大丈夫ですよね？

次に
「三角形ABCにおいて　次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ
→AP=s(→AB)+t(→AC)
1≦s+t≦２、　0≦s,　0≦t」
これ解けますか？（答えは台形になると思うけれども・・・）
このような基本問題が解けないようなら
画像の問題をやる前に基本固めをしないと(2)を理解することは難しいでしょうね
この基本問題は、高校数学B　平面ベクトル「ベクトルの終点の存在範囲　」
というようなタイトルの単元に必ず出てくる問題ですから
参考書などを読んで理解に努めてみてください
これが理解できるようになれば（２）もわかるはずです

この回答へのお礼

もしかして、d＝1／4↑a ー1／2↑cは、点Pと同じで、↑CD＝s↑CPと関係があるということでしょうか？ご教授願います。すみません。

お礼日時：2020/09/26 23:35

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/24 23:31

「d」とか「e」とかってなに?

この回答へのお礼

dというのは、1／4↑a ー1／2↑cで、eというのは、1／2(↑a ー↑b)のことです。
ご教授願います。図を願います。

お礼日時：2020/09/25 04:03