数学の問題です。 y'＝2yを解く問題がわかりません。 もしよければ教えていただきたいです。

数学の問題です。
y'＝2yを解く問題がわかりません。
もしよければ教えていただきたいです。

No.1 回答者： y_hisakata 回答日時： 2020/11/12 12:37

細かくてよく見えないのですが、最初のyは1乗と書いてありますか？

この回答へのお礼

yダッシュです

お礼日時：2020/11/12 13:16

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/11/12 12:41

ｄｙ/ｄｘ＝2ｙ

∫１/ydy=2∫dx
ln|y|=2x+c
y=Ce^2x

±e^2ｘとするのが筋かもしれませんが、Cに含まれるでOKとします。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/12 13:00

yとy'を同じ側（今回は左辺）にあつめて積分すればよいです

その際　場合分けが必要です
y=0の場合と
y≠０の場合に分けるのです
・y=0の場合は　0で割り算はできないので
y’/y＝2のような変形ができません！
しかしながら、y'=0なので
y'=2y　→0=0 が成り立ち　y=0はこの微分方程式の解であることになります
y≠0の場合は　０でないyで両辺割り算することが可能で
y'/y=2
この先の進め方はわかりますよね？
分からない場合は再度リクエストくだされば回答します

この回答へのお礼

解が２つでるってことですよね？
すいません進め方教えてください

お礼日時：2020/11/12 13:18

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2020/11/12 13:39

ｙ＝e^(2x)と置くと

ｙ’＝２e^(2x)
=2y
よって、ｙ＝e^(2x)

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/12 14:10

変数分離できますので、直接積分すればよいだけです。

dy/dx = 2y
ですから、
　(1/y)(dy/dx) = 2
として、x で積分すれば
　∫(1/y)(dy/dx)dx = 2∫dx
→　∫(1/y)dy = 2∫dx
→　log|y| = 2x + C1　（C1：積分定数）
→　y = ± e^(2x + C1)
　　　= ± e^C1 * e^(2x)
　　　= C * e^(2x)　（C = ±e^C1）

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2020/11/12 16:43

下の回答と同じやり方ですが、以下のような書き方もできます。

dy/dx=2y

dy/y=2dx

∫(dy/y)=∫2dx

(以下同じ)

No.7 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/12 21:24

解が2つになるかどうかは結果を見ないとわかりませんが

丁寧な答案を作るなら　場合分けです

y'/y=2…①については考え方はいろいろありますが
一番突っ込みを入れられづらいのは置換積分の考え方を用いることかもしれません

y=f(x)だと仮定すすると
dy=f'(x)dx （・・・参考　y=x²の場合なら　右辺はx²の微分が登場して
　　　　　　　　　dy=2xdx
　　　　　　　　　x²を一般化して　x²のところをf(x)に置き換えれば
　　　　　　　　　　dy=f'(x)dx　　　　　　　　　　　　　　　　）

これを頭において①の両辺をxで積分すると
∫(1/y)y'dx=∫2dx…②

＜y=f(x)だと仮定すれば、∫(1/f(x))f'(x)dx=∫2dx
f'(x)dx=dyだから　これは置換積分で
左辺=∫(1/f(x))dy
f(x)をもとに戻せば
左辺=∫(1/y)dy＞

＜＞内は初学者向けの解釈の一例だけれども
∫(1/y)y'dxは置換積分であることが理解できれば
②ないしは
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫2dx ・・・②'の左辺を　 （←←←　y'=dy/dx）
あなたが　いきなり
∫(1/y)dyに書き換えることもできるようになるはずです
（ちなみに②'の(dy/dx)dxを　約分してdy ととらえるのはよくありません）

このような事情で
②の両辺の積分結果は
左辺=∫(1/y)dy=log|y|+積分定数
右辺=∫2dx=2x＋積分定数
すなわち　log|y|=2x＋Cを得ます　（ただし左辺か右辺にのみ任意定数を書けば十分なので　今回は2x+Cとしておきました）

対数の意味から　log|y|=2x＋C⇔e^(2x+C)=|y|
⇔±e^(2x+C)=y
プラスバージョンでは指数法則により
y=(e^2x)・e^C
マイナスバージョンでは
y=(e^2x)・(-e^C)
Cはあらゆる実数を取りうるから
e^Cについては　0<e^C
つまり　e^Cは0より大きい数字で、無限に大きくなりうることがわかります
（参考例　e=3と仮定してしまえば
e^C＝3^cは
Cが１から順次大きくなると3,9,27,81・・・というようにどこまでも　
大きくなることがわかりますし
Cが1から順次小さくなると
3^0=1
3^-1=1/3=0.333
3^-2=1/9=0.111
・
・
・
というように限りなく０に近づいていくが
ぴったり０にはならないことが分かるはず
ゆえに　0<e^C

同様に、-e^C<0
以上から　±e^Cは０を除いたすべての実数となりうることが分かるはずです
よって
解をy=±e^(2x+C)と書いてなんだかすっきりしないよりは
±(e^C)=D ただしD=０は除くとして
y=±(e^c)(e^2x)=D・e^2xとすると大分すっきりします
（Dは任意定数）

締めに場合分けのy=0を思い出して
この微分方程式の解は
y=0
または
y=D・e^2x (D≠０）となるが
よくよく考えてみると
D=0とすれば　y=0になりますよね
つまり　解を2つにわける必要はなく
D≠0を解消して　
Dはすべての実数で　解はy=D・e^2x
としてしまえばこの1つの式で　分かれていた解2つを表せています！

答案では　
「±e^cは０以外のすべての実数を取るから
解y=0も含めて
y=D・e^2xに　（Dは任意定数）」
のように書いておけばよいのです

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。

お礼日時：2020/11/12 23:22