この問題教えてほしいです。 位置ベクトル r= (rcoswt.rsinwt.0)のとき以下の問いに

この問題教えてほしいです。
位置ベクトル r= (rcoswt.rsinwt.0)のとき以下の問いに答えよ。
(1) 速度ベクトル v とその大きさ|V|
を求めよ。
(2) 内積 r×vを求めよ。
(3) ベクトル積 r×vを求めよ

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/11/15 22:15

(1)速度は　dr//dt

つまり　位置ベクトルをtで微分したもの
x成分は　(rcoswt)'=r(-sinwt)(wt)'=-rwsinwt
y成分は　(rsinwt)'=rcoswt(wt)'=rwcoswt
z成分は　(0)'=0
ゆえに　V=(-rwsinwt,rwcoswt,0)

次に内積は２つのベクトルのx成分同士の積、y成分同士の積
ｚ成分同士の積の和で表されるから
|V|²=V・V 　　（←←←内積）
=(-rwsinwt)²+(rwcoswt)²＋0²
=(rw)²(sin²wt+cos²wt)
=r²w²　　　　（←←←　sin²θ+cos²θ=1）
ゆえに|V|=rw

(2)先ほど解説した通りで内積は２つのベクトルの各成分同士の積
これを足し算したもの！
rxVでは外積になってしまうので
内積の表記は「・」を用いて
r・V= {rcoswt・(-rwsinwt)}+(rsinwt・rwcoswt)+(０・0)
=0

（３）
２つのベクトル
a=(ax,ay,az)と
b=(bx,by,bz)の外積の成分計算は
行列式

C=
ｉ、ｊ、ｋ
ax、ay、az
bx、by、bz

つまり成分の１行目が（１段目が)i,j,k,２行目が(2段目が）ax,ay,az
3行目がbx.by.bzである行列をCとして
その絶対値を計算すればよいので
外積:axb=det(C)=|C|
|C|は3x3行列なのでその値は簡単に計算出来て
斜め掛けとなりますから
axb=|C|
=aybzi+azbxj+axbyk-(aybxk+azbyi+bzaxj)
=(aybz-azby)i+(azbx-axbz)j+(axby-aybx)k
ただし　i,j,kはｘ、ｙ、ｚの各軸方向への単位ベクトル　すなわち基本ベクトル
となります（つまり外積axbはその成分が　
x成分＝(aybz-azby)
ｙ成分＝(azbx-axbz)
ｚ成分＝(axby-aybx)
になるということです）

これを踏まえて
aをrに
bをＶに置き換えて
C=
ｉ、　　　ｊ、　　ｋ
rcoswt.　rsinwt.　0
-rwsinwt,rwcoswt,0
となるので

rxV=|C|
0i+0j+rcoswt・rwcoswtk-{rsinwt・(-rwsinwt)k+0j+0i}
=0i+0j+r²w(cos²wt+sin²wt)
=0i+0j+r²wk
このことから　ベクトル積の成分は
rxV=(0,0,r²w)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/11/15 18:17

ベクトルの基本ではないですか？

ちゃんと勉強しましたか？

→r= (r*cos(ωt), r*sin(ωt), 0)

(1) 速度ベクトルは
　→v = d(→r)/dt = (-rω*sin(ωt), rω*cos(ωt), 0)

　|→v| = √{[-rω*sin(ωt)]^2 + [rω*cos(ωt)]^2 + 0^2}
　　　　= rω√[sin^2(ωt) + cos^2(ωt)]
　　　　= rω

(2) 内積なら r･v でしょう。
　→r･→v = r*cos(ωt)[-rω*sin(ωt)] + r*sin(ωt)*rω*cos(ωt) + 0*0
　　　= -r^2*ω*sin(ωt)*cos(ωt) + r^2*ω*sin(ωt)*cos(ωt)
　　　= 0
よって、→r と →v は直交します。

(3) (→r)×(→v)
= (r*sin(ωt) * 0 - 0 * rω*cos(ωt), 0 * [-rω*sin(ωt)] - r*cos(ωt) * 0, r*cos(ωt) * rω*cos(ωt) - r*sin(ωt) * [-rω*sin(ωt)])
= (0, 0, r^2*ω*cos^2(ωt) + r^2*ω*sin^2(ωt))
= (0, 0, r^2*ω)