数学において Pが偽、Qが真のとき PならばQは真ですか？？ 真理値表(何に適用されるものなのか理解

数学において
Pが偽、Qが真のとき
PならばQは真ですか？？

真理値表(何に適用されるものなのか理解していません。)というものには真と書いてあったのですが。

質問者からの補足コメント

• 真理値は関係無さそうなので、それ以外の解答をお願いします。

    補足日時：2021/01/18 15:34

• Pが偽のときはそもそも
  PならばQを検証できないから、否定が不可能(つまり肯定された)だから真になるということでしょうか？

    補足日時：2021/01/19 10:01

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/01/18 14:36

P⇒Qで、Pが偽ならQは必ず真。

命題も真
前提が偽なら、結論は何とでも言えるからです。

1+1=3、ならば、2+2=10
もし3になったら10だ、と言ってる訳で、3には絶対になら無いから、
もし3になったら10ですよ、という主張自体は正しい。
(3になる事は無いわけだから）

これは暗記した方が良いかも。

この回答へのお礼

前提が偽なら、結論も偽としても矛盾無さそうですが、この辺は哲学的な話が入りそうですね。

お礼日時：2021/01/19 07:36

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/18 15:25

真理値表は数学というよりは　主に情報工学で現れる論理演算に関係するものです

数学に限った範囲で「数学において
Pが偽、Qが真のとき
PならばQは真ですか？？」
という問われ方はちょっと意味不明みたいですが
P∧Qは真ですか？？　というように読み替えれば以下のようになります

例として、Pの命題が「4辺が等しい四角形ならばそれは正方形」というもので（その真偽は偽・・・4辺が等しいものにはひし形もあるから）
命題Qは「正方形ならばそれは4つの角度が等しい」（真）というものなら
P、Qのすくなくとも1つが真なら論理和は真
P,Qの両方とも真ならば　論理積は真
ですから
その論理和PvQは真　論理積p∧qは偽
となるはずです
この関係を踏まえて真理値表を見ればその意味も完全に把握できるはずです

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2021/01/18 15:34

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/18 15:35

#2補足

ちなみに
＃２に挙げた正方形の命題の例P,Qについて
PならばQ　というのは命題になっていますか？
つまり、「4辺が等しい四角形ならばそれは正方形」ならば「正方形ならばそれは4つの角度が等しい」
これは命題になっていませんよね
なんで
Pが偽、Qが真のとき
PならばQは真ですか？？
ときかれても　はてな（何を言っているの？）　となってしまうわけです

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/18 15:37

もう少し補足

P,Qの命題は独立しているので
Pが真であろうと偽であろうと
Qの真偽に影響しないということです

この回答へのお礼

つまり、
pならばQの真偽は定まらないということですか？

お礼日時：2021/01/18 15:39

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/18 15:44

いや、P、Qが命題なら

命題2つを並べても　(PならばQという文章をつくっても）
そのこと自体命題になっていないということです（意味が不明ということです）

もっといえば
命題P：「２は奇数である」（偽）
命題Q:「3つの等しい辺で囲まれた図形は正三角形である」（真）
だとして
PならばQ　
いいかえれば
「２は奇数である」ならば「3つの等しい辺で囲まれた図形は正三角形である」

これは命題ではないということです

この回答へのお礼

p.x2が偶数である
q.xは偶数である

pならばq

命題と言えると思いますが。

お礼日時：2021/01/18 15:58

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/18 16:44

まず、命題とはなんぞや・・・というところから説明する必要がありそうです

式や文章で表された事柄で、その内容が正しいか正しくないか明確に決まるものを命題というのです
（そしてそれが正しいとき　その命題は真となります）

これを踏まえて
「p.x2が偶数である
q.xは偶数である
pならばq 」
これは確かに命題で　真偽は「偽」です
というのも、X2という変数とxという変数に関連性がなく　
X2=4 x=1という反例があるから

もし
「P:2x(xの2倍）が偶数 （ただしxは整数）
q:xは偶数
ｐならばq」
ということなら
x=1という反例があるので、明確にこれは偽ときまります
よってこの場合も命題です

でも　p単独で命題ですか？
命題ではなくて条件ですよね
同じくqも条件です
命題は
条件pならば条件qという文章の構造をしているのです
もう少し言うと
ｐのことを命題の「仮定」　qを結論といって
「仮定(p)」ならば「結論(q)」という文章構造を取らないと命題にならないのです

さて、あなたが初めに挙げた質問文では
条件pならば条件q は　
という構造ではなくて
命題pなら命題q
という構造をしています
これでは命題になっていないのです
(というのも、pが仮定（条件）なら結論については何も触れられていないの結論の真偽は論じることはできず、ｐに真偽が存在しません
同じ理由で　仮定がなければ結論qにも真偽は存在しないので
pが偽　qが真と書かれれば
pもqも命題だということになるのです）
（まだわからなければ補足しますが、今日はこれから忙しくなるので回答は明日まで待ってください）

この回答へのお礼

詳しい説明ありがとうございます。
大方理解できました。

命題pならば命題qである
という命題は存在しないのでしょうか？

であれば命題から命題に推論する場合の妥当性はどうすれば分かるのでしょうか？

お礼日時：2021/01/18 17:43

No.7 回答者： cage64 回答日時： 2021/01/18 17:42

P,Qが命題なら、「PならばQ」ももちろん命題で、それは「Pでないか、または、Qである」（PでないかPであるかのどちらかであるが、Pであるなら必ずQでもある）と同じになります。

したがって、Pが偽なら「PならばQ」は真です。

「PならばQ」を考える気持ちは、推論として使いたいということです。もしPがホントなら必ずQもホントだ（PがホントなのにQがウソ、ということはありえない）というのが推論の本質です。
鉄壁の論理で「Aが犯人ならばBは共犯ではない」ということが言えたとしても、その後Aが犯人でないことがわかってしまえば、せっかく鉄壁の論理があってもBが犯人かどうかわかりません。けれども、鉄壁の論理自体は（仮定がまちがっていようが推論として）正しい、ということです。

なお、命題と述語（命題関数；高校では条件というかも）は区別しましょう。
x^2が偶数である、は命題ではありません（xを決めないと真偽がきまりませんから。高校数学流にいえばxに関する条件です）。
「3つの等しい辺で囲まれた図形はすべて、正三角形である」や「すべての整数xについて『x^2が偶数ならば xは偶数である』」は命題です。

一般に、P(x),Q(x)がxに関する条件であれば、「P(x)ならばQ(x)」もxに関する条件ですが、「すべてのxについて『P(x)ならばQ(x)』」は命題です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。他の方と意見が異なりましたが、納得できました。

命題Pが偽でQが真のとき
PならばQが真という例がわからないのですが
具体的にあれば教えて下さい。

お礼日時：2021/01/18 18:05

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/18 19:19

「PならばQ」の定義は「PでないまたはQである」なんだから、

Pが偽, Qが真のときは「PならばQ」は真。
定義にそって計算あるのみ。
こういうの、意味で考えても屁理屈にしかならないからね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。定義は初めて知りました。
意味が理解できないと、それこそ意味がないと思ってるので

もう少し考えてみます。

お礼日時：2021/01/18 19:39

No.9 回答者： cage64 回答日時： 2021/01/18 21:44

>命題Pが偽でQが真のときPならばQが真という例

スマリヤンの例がわかりやすいでしょう。

3枚のトランプ：ハートA,スペードA,ダイヤAを考えます。
この3枚の中から2枚机の上に裏にして置きます。
(*)「右側のカードが黒色のAならば左側のカード赤色だ」
という命題(*)が真なのはいいでしょう。

さて、右側のカードを表にしたらハートのA、左側のカードはダイヤのAでした。トランプが表になったからといって(*)が偽になったり真偽不明になったりはしないでしょう。この時は、Pが偽で、Qが真だが、PならばQは真になっています。

なお、右がハートのA、左側のカードがスペードのAだった場合は P,Qいずれも偽だが、PならばQは真の例になっています。

この回答へのお礼

なるほど。
Pが偽のときは、真偽の確かめようがなく、分からないけど命題は真になるのですね。

命題を偽にする場合は、確実な証拠が必要なんですね。

お礼日時：2021/01/19 07:50

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/18 23:57

> 真理値は関係無さそうなので、それ以外の解答を

とおっしゃってるが、いやいや、最初に「数学において」と断っていらっしゃるじゃないですか。だったら、数学においては、真理値以外は関係ない。

　「PならばQ」という表現に「日本語としての違和感」を持つ人は確かに多い（し、そういう人はしばしばここまでに出てる回答のいくつかのような妄言を並べたがるんです）けれど、「数学において」はそんなもんに惑わされちゃダメです。No.1,7,8,9は適切な解説だと思いますよ。

　「PならばQ」は記号では P⇒Q と書いて、これは二つの命題PとQから別の命題を作る演算（足し算とか掛け算のようなもの）です。なので、P⇒Q はこれ全体で一つの命題です。他にも P∧Q , P∨Q, P≡Q, ¬Pなどの演算があり、それぞれが一つの命題になります。
　さて真理値表は、（掛け算に九九の表があるのと同じように、）PとQの値によって演算の結果がどうなるかを示す表です。そして、この真理値表によって、P⇒Qや P∨Qなどの演算がそれぞれどういう意味なのかが定義されています。　ところで、P⇒Qという命題は(¬P)∨Qと全く同じ命題です。後者を「Pでないか、またはQである」と読みます。ですが、「PならばQ」という言葉は単にP⇒Qという演算によって作られる命題を指しており、「Pでないか、またはQである」という言葉は単に(¬P)∨Qという演算によって作られる命題を指している。それだけです。これらは専門用語であって、余計な意味は含んでいません。「それ以外」の意味なんか追求するのは、無意味であるばかりか有害です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
普段の推論に使うのは、
Pが真のとき、Qが真であるという時のみですか？

Pが偽のときや、Pが真でQが偽のときは
考える必要がないということですか？

お礼日時：2021/01/19 07:54