数列について。

問題
数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して
| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が成り立つものとする
{a[n]} は等差数列であることを示せ
で、
* 例えば a(n) = n^2だとなぜダメなのか
* a(n)の中の一つだけが等差数列からずれていたら、どうなるのか。例えば n=3の時だけ7で、他の時は a(n) = 2n という数列だとどうしてダメなのか
* 等差数列とあるが、例えば a(n) = 2n+3とかだと問題を満たすのか
と、この解説の 2行目からお願いします。
ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/03/31 12:15

ご質問への答は解答に全部書いてある。

どこがわからんのかがわからんす。

> a(n) = n^2だとなぜダメなのか
|a[1+1] - a[1] - a[1] | はいくつ？そんなaは、そもそも題意を満たさない。

> a(n)の中の一つだけが等差数列からずれていたら
2.はその話をやっている。

> a(n) = 2n+3とかだと
ダメだということが1.に書いてある。

　もしかして、「アルキメデスの原理」とか書いてあるから却って分からなくなってるのかな？ これは単に、どんな実数xについても「そのxより大きい自然数Nが（いくらでも）存在する」という意味。（もちろん、そういうNのうち最小のものは、xが0以下なら1であり、xが自然数ならx+1であり、さもなければxの小数点以下を切り上げた自然数。）

この回答へのお礼

> a(n) = n^2だとなぜダメなのか
|a[1+1] - a[1] - a[1] | はいくつ？そんなaは、そもそも題意を満たさない。
これは、 2ですか？｜b｜になるのでしょうか？
後の
> a(n)の中の一つだけが等差数列からずれていたら
2.はその話をやっている。

> a(n) = 2n+3とかだと
ダメだということが1.に書いてある。
ここら辺が分かりません。
もう少し詳しくご教授願えませんか？すみませんが。

お礼日時：2021/03/31 15:12

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/01 10:30

a(n)=n^2

だと

i=1
j=1
とした時

| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が
成り立たない
事がわからないのでしょうか?

| a[1+1] - a[1] - a[1] | はいくつ？

1/(1+1) はいくつ？

| a[1+1] - a[1] - a[1] | < 1/(1+1)
が
成り立ちますか?

題意を満たすか?とは

数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して
| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が成り立つか？

を聞いているのです

この回答へのお礼

すみません。 2番のこの時から分かりません。ご教授いただけないでしょうか？

お礼日時：2021/04/01 21:09

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/02 09:58

Σの意味がわからないのでしょうか?

画像の式はわかりますか?

この回答へのお礼

では、その次の 2行目でなぜ、≦になっているのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/02 14:15

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/02 17:18

では

|A+B|≦|A|+|B|
はわかりますか?

X_k=a(1)+a(M+k-1)-a(M+k)
とすると

|X_1+X_2|≦|X_1|+|X_2|
はわかりますか?

|X_1+X_2+X_3|≦|X_1|+|X_2|+|X_3|
はわかりますか?

…

|X_1+X_2+X_3+…+X_n|≦|X_1|+|X_2|+|X_3|+…+|X_n|
はわかりますか?

画像の式はわかりますか?

この回答へのお礼

はい。全て大丈夫です。ありがとうございます。 2の最後の行（3行目)で、なぜ＜になるのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/02 19:21

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/02 20:55

数列 {a[n]} は任意の番号 i, j に対して

| a[i+j] - a[i] - a[j] | < 1/(i+j)
が成り立つから

k=1～mに対して

i=1
j=M+k-1
とすると
i+j=1+M+k-1=M+k
だから

| a[M+k] - a[1] - a[M+k-1] | < 1/(M+k)

↓| a[M+k] - a[1] - a[M+k-1] |=| a[1] + a[M+k-1] - a[M+k] |だから

| a[1] + a[M+k-1] - a[M+k] | < 1/(M+k)

この回答へのお礼

この後の、≦は、なぜでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/02 21:07

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/02 21:42

k=1～mに対して

M<M+k

↓両辺に1/{(M+k)M}をかけると

1/(M+k)<1/M

≦　は　< または = の意味なので =　が成り立たなくても間違いではありません

この回答へのお礼

従っての所から分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/02 21:57

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 03:38

m・a(1)+a(M)-a(m+M)-{a(m)+a(M)-a(M+m)}

=m・a(1)+a(M)-a(m+M)-a(m)-a(M)+a(M+m)
=m・a(1)-a(m)+a(M)-a(M)-a(m+M)+a(M+m)
=m・a(1)-a(m)

がわからないのですか?

この回答へのお礼

いえ、その次の≦の所となぜ、矛盾になるのかが分かりません。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/03 03:56

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 04:06

X=m・a(1)+a(M)-a(m+M)

Y=-{a(m)+a(M)-a(M+m)}
とすると

|X+Y|≦|X|+|Y|
となるのはわかりますか?

この回答へのお礼

はい。分かります。なぜ、矛盾になるのかご教授いただけないでしょうか？すみませんが。

お礼日時：2021/04/03 06:24

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 10:26

|m・a(1)-a(m)|<|d|

と

|m・a(1)-a(m)|=|d|

が
矛盾しているのがわからないのでしょうか?

この回答へのお礼

そうです。そこです。ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/03 12:31

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/04/03 15:31

では

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
矛盾していないと考えているのでしょうか?
|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
同時に成り立つと考えているのでしょうか?

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
が
同時に成り立つと仮定すると

|d|=|m・a(1)-a(m)|<|d|
が
成り立つから
∴
|d|<|d|
が
成り立つとなって|d|=|d|に矛盾するから

|m・a(1)-a(m)|<|d|
と
|m・a(1)-a(m)|=|d|
は
矛盾するのです

この回答へのお礼

結局何が矛盾しているのでしょうか？ご教授いただけないでしょうか？すみません。

お礼日時：2021/04/03 15:43