ガウスの法則について質問です。 ガウスの法則は閉曲面内の電荷が与える電場を示しているのでしょうか？つ

ガウスの法則について質問です。
ガウスの法則は閉曲面内の電荷が与える電場を示しているのでしょうか？つまり実際の電場とは違う可能性があるかということです。
例えば、+1cの点電荷2つが距離A離れて分布しているとき、一つの点電荷を囲む球面を考えると、その電場は1つの電荷しか考慮していないため、もう一つの電荷の影響を無視していますよね。
それと同じように、中心に.-2c,球殻に+4cの電荷が分布していたとき球殻内の電場はガウスの法則で0となりますが、これも球殻の外面に分布している+2c分の電荷を無視しているのですが+2cは球殻の内部に電場を作らないのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/05/17 13:05

>+1cの点電荷2つが距離A離れて分布しているとき、

>一つの点電荷を囲む球面を考えると、>
>その電場は1つの電荷しか考慮していないため、
>もう一つの電荷の影響を無視していますよね。

無視してます。それぞれの電荷について電場を算出し
足し合したものが正しい電場です。

>それと同じように、中心に.-2c,球殻に
>+4cの電荷が分布していたとき球殻内の電場は
>ガウスの法則で0となりますが、これも球殻の
>外面に分布している+2c分の電荷を無視している
>のですが+2cは球殻の内部に電場を作らないのでしょうか？

まず、同様に、中心、球殻の内側、球殻の外側の電荷それぞれ
別々に計算して、合わせてみよう。
もっと楽に計算できるのだけど、あなたの混乱の様子からすると
そこから始めるのが良いと思う。

球殻上の電荷だけによるの電場を考える場合、ガウスの法則から
球殻より小さな球面内に電荷はないから、球殻内には電場が
ないことに注意しよう。

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/17 12:43

ファイナル弁当さんが一生懸命解説されましたので

かみ砕いてちょっとだけ解説・・・

ガウスの法則とはクーロンの法則のベクトル解析表現です

電気力線の源は電荷+qであり、+qから湧き出す力線の本数はN=q/εである
これがガウスの法則の要約です
この式には　半径rが含まれんので、+qを取り囲む閉曲面Sのイズによらず
+qからでる力線の本数は一定　であり
Sを内側から外へ貫く力線の本数はq/εだと理解できます
(反対に-qからは電気力線がわきだすのではなくて　電気力線がq/ε本吸収されることになります⇔-qがS内部なら　外側から内へ向かって力線がSを貫く）
また、rが含まれないことにより、（少々話に飛躍があるかもしれないが）
qが閉曲面Sの外部にある場合は　
ｑを含まない閉曲面S'を貫く力線は　トータルで０本だともいえるわけです
以上をまとめて
ある閉曲面を貫く力線の本数
=閉曲面を内から外へ貫く力線の本数-閉曲面を外から内へ貫く力線の本数
です…①
もし、Sの内部に+qがあり　それとは別の閉曲面S'（SとS’に共有部分なし）の内部には電荷がない場合
Sを貫いた力線一部が　S'の片面からS'内部へ侵入してきます
でもそれらは、S'の反対側の面から外へと出ていきます
ゆえに、S'内の電荷=0なら　①よりS'を貫く力線の本数＝０です

そして、閉曲面の1部の面（1m²)を垂直に貫く力線の本数E=その地点での電場E
と定めて、電場を力線の密度で示せるのです

例えば、+1cの点電荷2つが距離A離れて分布しているとき、一つの点電荷を囲む球面を考えると、その電場は1つの電荷しか考慮していないため、もう一つの電荷の影響を無視していますよね。
＞＞＞　
+1Cを囲むSを＋１Cからでる力線が貫きますが、その本数はq/ε=1/εです
外部の+1Cからくるいくらかの力線もSに侵入してきますが、それらは先ほど述べたようにすべてS外へ出ていきます
ゆえに、①により　外部に+1Cがあろうとなかろうと
結果的にSを貫く力線の総数は1/εで不変　ということになります
電場はSの1部を１ｍ²切り取って、そこを出入りする力線のトータル本数で考えることになるんで、Ｓの位置によってＥは変わってくるのです！！
→　Ｓ外の電荷の影響は　力線の本数を考える場合も電場を考える場合もむししてはいない！

中心に.-2c,球殻に+4cの電荷が分布していたとき球殻内の電場はガウスの法則で0となりますが、これも球殻の外面に分布している+2c分の電荷を無視しているのですが+2cは球殻の内部に電場を作らないのでしょうか？
これも　もう一度よく考えて見てください

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/17 11:27

回答を一部訂正。

「電気力線」と言う表現を使いたくなかったので「閉曲面に入る電場」と言った表現を用いましたが、これだと「電場が空間的に移動している」みたいにかえって誤解を与えかねない表現でしたね。なので「閉曲面に入る電気力線と閉曲面から出る電気力線が相殺されて」と訂正させていただきます。


より正確に言うと、電気力線が閉曲面に入る時のE･dSと閉曲面から出て行く時のE･dSが同じ大きさで符号が反対のためプラマイゼロになります。電荷が閉曲面の外にある場合のE･dSは全部このような組み合わせになるため、それらを合計したものすなわち

∮E･dS

はゼロになります。


cf:高校の物理の教科書に「電荷を囲む閉曲面を考えた場合、閉曲面から出て行く(or入る)電気力線の本数は閉曲面の形に無関係」と言った事が書いてあったと思いますが、実はあれがガウスの法則です。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2021/05/17 11:13

積分形のガウスの法則が表しているのは「考えた閉曲面上の電場がどうなるか」であって「閉曲面内の電荷が作る電場がどうなるか」ではありません。

実際ガウスの法則を導き出す時に「閉曲面の外に電荷がある場合はどうなるか」と言う場合もちゃんと考察していたはずですが、閉曲面に入る電場の面積分と閉曲面から出る電場の面積分が相殺されて結果的に「考える必要がなくなる」と言うだけです。

この回答へのお礼

閉曲面の外に電荷がある場合は無視できることは分かったのですが、結局ガウスの法則で求められる電場は閉曲面の電荷しか考慮していないので実際の電場とは違いますよね？
+1cの二つの電荷が距離Aをあけて分布しているとき、一つの電荷に注目してガウスの法則を用いると、距離A/2(2つの電荷の線分上)での電場は4π(A/2)^2×E=1/ε→E≠0ですが、実際の電場はE=0となり実際はとは違いますよね？

お礼日時：2021/05/17 12:32

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/05/17 11:03

電場ではなくて　電気力線を表す法則です

手が空いたら詳しい解説します