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中3の有効数字の範囲の問題で
√2=1.41、√3=1.73、√5=2.23とする。これらはいずれも有効数字3桁の近似値である。このとき次の数の近似値を有効数字3桁で答えなさい。
(1)1/√2 (2)1/√3 (3)3/√2 (4)4/√5
(5) √(6)-2/√2 (6) √(10)+√(5) (7) √6
(8) √10
というものがあって、(1)は割り切れたのでわかったのですが、他のものは小数点第4位を四捨五入していたら間違っていて解答を見たら、「できるだけ精密な近似値が出るように計算して、有効数字3桁未満は切り捨てればよい。」と書いてあって有効数字自体もよく分かっていないし、四捨五入するものだと思っていたのでもうさっぱり分からなくなってしまいました。
もしわかる方いたら教えてくださると助かります。

A 回答 (4件)

√5=2.23



有効数字3桁の近似値だとしていますが

√5=2.236…
だから
小数第3位を四捨五入すれば
√5≒2.24

有効数字3桁の近似値だと
するのも間違いではありません

その問題の出題者は

有効数字3桁未満は切り捨てればよい

としていますが


有効数字3桁未満は四捨五入する

のも間違いではありません

(2)
1/√3=√3/3
1.732<√3<1.7321
1.732/3<√3/3<1.7321/3
0.577<√3/3<0.5774

1/√3≒0.577

(3)
3/√2=3√2/2
1.414<√2<1.415
1.414*3/2<3√2/2<1.415*3/2
2.121<3√2/2<2.1225

3/√2≒2.12

(4)
4/√5=4√5/5
2.236<√5<2.2361
2.236*4/5<4√5/5<2.2361*4/5
1.7888<4√5/5<1.78888

3/√2≒1.79

(5)
(√6)-2/√2=(√6)-√2=(-1+√3)√2

1.414<√2<1.415
0.732<-1+√3<0.7321
1.414*0.732<√6-√2<1.415*0.7321
1.035<√6-√2<1.0356

(√6)-√2≒1.04

(6)
(√10)+√5=(1+√2)√5

2.414<1+√2<2.415
2.236<√5<2.2361
2.414*2.236<(√10)+√5<2.415*2.2361
5.3977<(√10)+√5<5.401

(√10)+√5≒5.40

(7)
(√6)=√2√3

1.414<√2<1.415
1.732<√3<1.7321
1.414*1.732<√6<1.415*1.7321
2.449<√6<2.451

√6≒2.45

(8)
√10=√2√5

1.414<√2<1.415
2.236<√5<2.2361
1.414*2.236<√10<1.415*2.2361
3.16<√10<3.165

√10≒3.16
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丸めは最後の一回だけがルール。


式の計算途中で丸めてませんか?

電卓使ってよいなら計算は電卓に任せてできるだけ長い桁数で
計算する。手計算なら1~2桁余分に計算する。
最後に丸めを行うこと。
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演算すると誤差は拡大するから、


答えを有効数字3桁にしたいのなら
使用する近似値が有効数字3桁では足りない。
√2, √3, √5 について、与えられたものとは別に
あと1〜2桁精度の高い近似値を求めてから
計算しないと無理だと思う。
平方根の有効数字3桁なら、
手計算でも何とか出せるよね。
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>「できるだけ精密な近似値が出るように計算して、有効数字3桁未満は切り捨てればよい。

」と書いてあって

それがどういう意味か分かりますか?
たとえば
 1/√5 ≒ 1/2.23 = 0.44843049・・・
と、
 1/√5 = (√5)/5 ≒ 2.23/5 = 0.446
と、どちらが「真値に近い近似値」だと思いますか?

真値は
 1/√5 = 0.44721359・・・

これは下の方が誤差が少ないのです。
誤差をもったものを「分母」にして計算するよりも、近似計算する前に「分子」にもって来て計算する方が誤差が少ないのです。

あなたはおそらく(1)~(5) の「ルートの付いた値」をそのまま「分母」にして計算したのではありませんか?
分母を有理化して、「ルートの付いた値」を分子にもって来てから計算するのが「できるだけ精密な近似値が出るように計算する」ということです。
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