写真(3)の閉直方体が閉集合であることを示したいです。 そのためにはこの閉直方体Dの補集合が、開集合

写真(3)の閉直方体が閉集合であることを示したいです。
そのためにはこの閉直方体Dの補集合が、開集合であることを示します。
この時のεの取り方が思いつきません。
良ければ教えて頂きたいです。m(_ _)m

質問者からの補足コメント

• 写真載せ忘れていました。

  
    補足日時：2021/05/31 16:53

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/06/01 16:49

a=(a_1,a_2,…,a_n)∈R^nとr_1,r_2,…,r_n>0 に対し

D(a,r_1,r_2,…,r_n)={x=(x_1,x_2,…,x_n)∈R^n||x_k-a_k|≦r_k(1≦k≦n)}

b∈R^n-D(a,r_1,r_2,…,r_n)
とすると

|b_k-a_k|>r_k
となる
k
がある
ε=|b_k-a_k|-r_k
とすると
ε>0

B(b;ε)={x∈R^n||x-b|<ε}
とする
x∈B(b;ε)
とすると
|x-b|<ε
だから
|x_k-b_k|<ε

|x_k-a_k|+|x_k-b_k|≧|b_k-a_k|=r_k+ε
|x_k-a_k|+|x_k-b_k|≧r_k+ε
↓両辺に-|x_k-b_k|-r_kを加えると
|x_k-a_k|-r_k≧ε-|x_k-b_k|>0
|x_k-a_k|-r_k>0
↓両辺にr_kを加えると
|x_k-a_k|>r_k
だから

x∈R^n-D(a,r_1,r_2,…,r_n)
だから
R^n-D(a,r_1,r_2,…,r_n)
は開だから
D(a,r_1,r_2,…,r_n)
は閉

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/05/31 20:18

a=(a_1,a_2,…,a_n)∈R^nとr_1,r_2,…,r_n>0 に対し

D(a,r_1,r_2,…,r_n)={x=(x_1,x_2,…,x_n)∈R^n||x_k-a_k|≦r_k(1≦k≦n)}

b∈R^n-D(a,r_1,r_2,…,r_n)
とすると

|b_k-a_k|>r_k
となる
k
がある
ε=|b_k-a_k|-r_k
とすると
ε>0

B(b;ε)={x∈R^n||x-b|<ε}
とする
x∈B(b;ε)
とすると
|x_k-a_k|-r_k
=|b_k-x_k|+|x_k-a_k|-r_k-|b_k-x_k|
≧|b_k-a_k|-r_k-|x_k-b_k|
=ε-|x_k-b_k|
≧ε-|x-b|
>0
だから
|x_k-a_k|>r_k
だから

x∈R^n-D(a,r_1,r_2,…,r_n)
だから
R^n-D(a,r_1,r_2,…,r_n)
は開だから
D(a,r_1,r_2,…,r_n)
は閉

この回答へのお礼

ありがとうございます！

│xk-ak│-rk
＝│bk-xk│+│xk-ak│-rk-│bk-xk│

の変換はよくやるのですか？？
上から下への書き換えが思いつきませんでした。

お礼日時：2021/06/01 11:31