微分方程式の問題で、この問題の解き方が自分が解いた過程からその先が分からずよく理解できなかったので、

微分方程式の問題で、この問題の解き方が自分が解いた過程からその先が分からずよく理解できなかったので、教えてもらえると勉強が進むので、よろしくお願いします。
問題: 次のオイラー微分方程式をx=e*(t)と定数変換することにより解きなさい。
x*^2y’’+ y = logx
自分の過程:オイラーの微分方程式なので、x=e*(t)と変換
d/dx= dt/dx* d/dt = e*(-t)d/dt
ここから先が理解できず中々解けないので、この先の過程を教えてください。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/07/12 15:29

logxがあるので、この方程式は x>0 で定義されている。

　dx/dt=e^t
　dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=e^(-t)dy/dt

　d²y/dx²=d(dy/dx)/dx
　 =[d{e^(-t)(dy/dt)}/dt]/(dx/dt)
　 =[-e^(-t)(dy/dt)+e^(-t)(d²y/dt²)]/e^t
　 =-e^(-2t)(dy/dt)+e^(-2t)(d²y/dt²)
　 =-(1/x²){(dy/dt)+(d²y/dt²)}

logx=t だから元の式に入れて

　-(dy/dt)+(d²y/dt²)+y=t

微分演算子 D=d/dt を使うと
　(D²-D+1)y=t
特殊解を y=at+b とすると
　-a+at+b=t → a=1, b=1
となり、y=t+1 とわかる。

つぎに斉次式　(D²-D+1)y=0 の解は特性方程式が
　D={1±√(1-4)}/2=1/2±((√3)/2)i
となり、公式から一般解は
　y=e^(t/2){Acos((√3)/2)t+Bsin((√3)/2)t}
となる。

特殊解と合わせて、元の式の一般解は
　y=e^(t/2){Acos((√3)/2)t+Bsin((√3)/2)t}+t+1

xにもどすと
　y=√x [ Acos{((√3)/2)logx}+Bsin{((√3)/2)logx} ]+logx+1
となる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/12 20:18

あなたの式の書き方がよく判らないんだけど、

(x^2)y'' + y = log x でいいんだろうか？

x = e^t で変換すると、
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
　　　= (dy/dt)/e^t,
d²y/dx² = { (d/dt)(dy/dx) }/(dx/dt)
　　　　= (d/dt){ (dy/dt)e^-t }/e^t
　　　　= { (d²y/dt²)e^-t (dy/dt)(-e^-t) }/e^t
より
左辺 = (e^t)²{ (d²y/dt²)e^-t + (dy/dt)(-e^-t) }e^-t + y
　　 = { (d²y/dt²) - (dy/dt) } + y.
方程式は、
(d²y/dt²) - (dy/dt) + y = t になる。

普通の非斉次線型微分方程式だから、お作法通りに解く。
非斉次線型微分方程式の一般解は、
その方程式のひとつの特殊解と
斉次化した方程式の一般解の和で表される。

(d²y/dt²) - (dy/dt) + y = t の特殊解として
y = t + 1 があることは、すぐ見つけられるだろう。
代入してみれば、 0 - 1 + (t + 1) = t となっている。

斉次化方程式 (d²y/dt²) - (dy/dt) + y = 0 の一般解は、
特性方程式 λ² - λ + 1 = 0 を解いた
λ = (1 ± i√3)/2 を使って、
y = A e^{ t(1 + i√3)/2 } + B e^{ t(1 - i√3)/2 }
(A, B は定数) と解ける。 変形して、
y = { e^(t/2) }{ A e^{ t(i√3)/2 } + B e^{ -t(i√3)/2 }
　= { e^(t/2) }{ A{ cos(t(√3)/2) + i sin(t(√3)/2)) } + B { cos(t(√3)/2) - i sin(t(√3)/2)) } }
　= { e^(t/2) }{ (A+B) cos(t(√3)/2) + (A-B)i sin(t(√3)/2)) }.

以上より、もとの方程式の解は、
y = t + 1 + { e^(t/2) }{ (A+B) cos(t(√3)/2) + (A-B)i sin(t(√3)/2)) }
　= (log x) + 1 + (√x){ C cos((log x)(√3)/2) + D sin((log x)(√3)/2)) }.
(C = A+B, D = (A-B)i は任意定数)

No.1 回答者： adh 回答日時： 2021/07/12 15:04

ひとまず、d^2/dx^2も同様にt,d/dt,d^2/dt^2で表して(すなわちd/dxをxで微分する,e^-t*d/dtをe^-t*d/dtに作用させる)、与式をt微分の方程式に書き換えましょう。

おそらく簡単な非同次線型方程式になると思います。