微積分

lim(α↓a)∫(α→b)f(x)dx=∫(a→b)f(x)dx　をf(x)が区間[a,b]で連続の時証明せよという問題なのですが、私は

f(x)の原始関数をF(x)とすると右辺＝F(b)-F(a)、左辺＝lim(α↓a){F(b)-F(α)}=F(b)-F(a)
よって等しい

のように考えました。これは数学的に正しい（厳密な）証明としていいのでしょうか？添削をしていただけるとありがたいです。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/12 20:40

言ってることは正しいけれど...

F(x) が存在して lim[α→a+0] F(α) = F(a) になること
を示すことが要求されている問題だから、
肝心なことは省いて、その周辺だけを書いてる感じがする。
書いてある部分は、正しい。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/07/13 11:38

f(x)は連続だから

積分可能だから
f(x)の原始関数F(x)がある

右辺＝F(b)-F(a)

F'(x)=f(x)

f(x)は閉区間[a,b]で連続だから
f(x)は有界だから
あるM>0が存在して
a≦x≦bとなる任意のxに対して
|f(x)|<M
となる

任意のε>0に対して
δ=min(ε/M,|b-a|) とすると
0<|α-a|<δとなる任意のαに対して
平均値の定理から
{F(α)-F(a)}/(α-a)=F'(c)=f(c)
となるa<c≦αがある

|F(α)-F(a)|=|α-a||f(c)|<δM=ε
だから

lim_{α↓a}F(α)=F(a)
だから

左辺=lim(α↓a){F(b)-F(α)}=F(b)-F(a)
よって等しい