数学の質問です。 正の偶数を小さいものから順に並べた数列 2.4.6.8.・・・ について考える。

数学の質問です。

正の偶数を小さいものから順に並べた数列
2.4.6.8.・・・　　について考える。
連続して並ぶ(2n +1)項のうち、初めの(n＋1)項の2乗の和が次のn項の2乗の和に等しいとき、(2n＋1)項のうちの中央の項を求めよ。

という問題ですが、連続して並ぶ(2n＋1)項のうち---
以降の内容が全くわかりません。どなたか教えてください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/22 14:38

その文章の内容は、

連続して並ぶ (2n+1) 項の中央の項を第 m 項である 2m とすると
Σ[k=m-n,m] (2k)^2 = Σ[k=m+1,m+n] (2k)^2 だということです。 ←[1]

公式 Σ[k=1,N] k^2 = (1/6)N(N+1)(2N+1) を知っていれば、
[1] を m についての 3次方程式として解くことができますね？

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/22 15:30

この数列は初項がa1=2

a2=4
a3=６
・・・
ですよね
2n+1は奇数だから
「連続して並ぶ(2n +1)項」の意味は　a1,a2,a3などの項が奇数個
(2n+1個）あって
a1,a3,a5 のように飛び飛びではなくて
a1,a2,a3,a4,a5・・・a[2n+1]
というように1個も抜かすことなくa1からa[2n+1]まで並んでいるという意味です

このうち、「初めの(n＋1)項の2乗の和」
つまり a1~a[n+1]までのn+1個について
それぞれを2乗したものを足し合わせたものは　（⇔a1²+a2²+a3²+・・・+a[n+1]²は）

「次のn項の2乗の和」　つまり残った部分の2乗の和
（⇔a[n+2]²+a[n+3]²+・・・+a[2n]²+a[2n+1]²)

に等しいといっていますよ

ゆえに
a1²+a2²+a3²+・・・+a[n+1]²
=a[n+2]²+a[n+3]²+・・・+a[2n]²+a[2n+1]²
であるとき、
(2n＋1)項のうちの中央の項（中央の項はa[n+1])を求めろ
というのが題意です

この回答へのお礼

ありがとうございました！わかりやすかったです！

お礼日時：2021/08/08 13:37

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/22 20:14

[1] に Σk^2 公式を使うと

(4/6)m(m+1)(2m+1) - (4/6)(m-n-1)(m-n)(2m-2n-1)
　　= (4/6)(m+n)(m+n+1)(2m+2n+1) - (4/6)m(m+1)(2m+1)
となるから、両辺を 4/6 で割ってから展開整理すると
6m^2 - 12(n^2 + n)m = 0.
m について 3次じゃなく 2次の方程式だった。
しかも、非常に簡単に因数分解できる。
(2n+1) 項の添字が全て自然数であるように m - n ≧ 1 が必要だから、
m = 0 は不適で、 答えは m = 2n^2 + 2n.