【高校物理/電磁気】 Ｑ．写真のような回路の、スイッチが全て閉ざされた直後の回路方程式を立てたいので

【高校物理/電磁気】

Ｑ．写真のような回路の、スイッチが全て閉ざされた直後の回路方程式を立てたいのですが、電流 I₁のループについて、
　V＝(R₁＋R₂＋R₃)I₁
としてよいのか、それとも
　V＝R₁(I₁＋I₂)＋(R₂＋R₃)I₂
としなくてはならないのか、どちらでしょうか…。
同様に電流 I₂のループについて、
　V＝R₁I₂
なのか、はたまた
　V＝R₁(I₁＋I₂)
なのか…。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2021/08/04 22:36

電荷が貯まっていないコンデンサCに電圧が印加されると、コンデンサに充電が開始され電荷が貯まってゆきます。

貯まった電荷量Qに応じた電圧Vがコンデンサの両端に生じます(Q=CV)。従って、電荷量と電圧あるいは充電電流は時間と共に変化します。この時の変化の様子は、微分方程式とその解き方を知らないと表すことができません。
質問の中の最初の式（赤ループ）はコンデンサが完全に充電されてI2がゼロになった状態です。これが成り立つのは、合成容量C=C1C2/(C1+C2)に抵抗R1を通して充電する時のある決まった時間（時定数）t=CR1に比べて、時間が十分に経った時だけです。
過渡現象という言葉で検索してみて下さい。電流や電圧の波形がわかると思います。

この回答へのお礼

空気抵抗や電気抵抗の微分方程式はネイピア数が出てくるやつですよね？一通り塾で教わったので、物理に出てくる微分方程式はある程度理解しているつもりです…。
　今、スイッチを閉じた｢直後｣の、｢R₂とR₃の間｣と｢C₁とC₂の間｣に流れた電流の大きさを求めたくて、ふたつをI₁,I₂として、キルヒホッフの法則にしたがってそれぞれのループを設定しようとしているのです。
｢直後｣だから(コンデンサーの電圧降下)V＝Q/C は 0 。これらを考慮して回路方程式を立てたいです。
　そのときにR₁では(I₁＋I₂)が通るので、赤ループでは、
　　V＝(R₁＋R₂＋R₃)I₁
なのか、それともR₁を通るI₂も考慮して
　　V＝R₁(I₁＋I₂)＋(R₂＋R₃)I₁
とするべきなのかがわからないです。

お礼日時：2021/08/04 23:15

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/04 23:54

SWを閉じる前に2つのCに電荷がなかったなら

SWを閉じた直後はコンデンサ回路の両端電圧は0
つまりCは短絡状態、なので
それと並列につながっているR2、R3の直列回路の電圧も0
したがってR2、R3の直列回路に流れる電流も0だから
電流は外側をを流れるV/R1だけ、つまり
I1＝0、I2＝V/R1　です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
短絡状態とはどのような状態でしょうか…。

お礼日時：2021/08/05 01:33

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/05 01:31

全部間違ってるよね

>V＝(R₁＋R₂＋R₃)I₁
R1に流れてるI2はどこいった?


>V＝R₁(I₁＋I₂)＋(R₂＋R₃)I₂
何故R2、R3にI2が流れてる？

>V＝R₁I₂
R1に流れるI1はどこ行った？
C1、C2の電圧降下は？
コンデンサの初期電荷でかわるよ。

>V＝R₁(I₁＋I₂)
C1、C2の電圧降下は？
コンデンサの初期電荷でかわるよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
色々と不備があり申し訳ございません。
それぞれの式を上から①②③④とすると、
　②は入力ミスで、
　　V＝R₁(I₁＋I₂)＋(R₁＋R₂)I₁
が打ちたかった式です。
　①は②式との区別で、なぜ I₁ループの閉回路の式を立てるのに、電圧降下R₁I₂を考慮する必要があるのか。というのをこの質問でしたかったのです。
　③④の初期条件はどちらも0[C]で帯電していない状態でのスイッチONです。
　③から抜けている電圧降下R₁I₁は、上記と同様、I₂ループで立式しているのになぜそれを考慮しなくてはならないのか、わからないので比較として打ちました。

お礼日時：2021/08/05 01:41

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/05 06:21

C1、C2の初期電荷=0なら話は簡単。

電源が繋がった瞬間の電流I1,I2は
キルヒホッフの電圧則から右ループは
(R2+R3)I1-(C1とC2の電圧)=0→(R2+R3)I1=0→I1=0

キルヒホッフの電圧則から左ループは
(C1とC2の電圧)+R1I(I1+12)-V=0 →R1I2=V→I2=V/R1

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
　回答者さまの言う右ループ、左ループというのは、それぞれ、R₂ R₃ C₁ C₂ のループと図でいう青ループでしょうか？
　右ループについて。キルヒホッフの第2法則は、(起電力)＝(電圧降下)と習ったのですが、電池の含まれないループでもよいのですか？それとも｢－(C₁とC₂の電圧)｣としているから電池と見なしているのでしょうか？
度々すみません…m(_ _)m

お礼日時：2021/08/05 08:47

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/08/05 08:59

初期条件か回路式か不明ですが。

C₁+C₂の電圧を Uとする。
図（あなたの設定）に従うと、回路式は
　V=R₁(I₁+I₂)+(R₂+R₃)I₁
　V=R₁(I₁+I₂)+U
また
　I₂=(CU)'=CU' , C=C₁C₂/(C₁+C₂)・・・・・①
これにより、未知数は３つとなり、方程式は解ける。

なお、初期条件（t=0の回路式）は
Uの初期電圧(CUにより、初期電荷と同等)をU(0)とすればR₁に流れる
電流はオームの法則から
　(V-U(0))/R₁=I₁+I₂

また、R₂+R₃に流れる電流は、同じくオームの法則から
　I₁=U(0)/(R₂+R₃)
となり、未知数のI₁,I₂の初期値が決まるので、方程式の積分定数が決
定される（U(0)も含めて）。


なお、①は常識的なので、計算を端折ったが、C₁,C₂の電圧をU₁,U₂とす
ると
　U=U₁+U₂, I₂=(C₁U₁)'+(C₂U₂)' → U'=I₂/C₁+I₂/C₂ → I₂=CU'
となるからである。

この回答へのお礼

なるほど、Q＝CVを微分すると条件式として使えるのですね！丁寧で分かりやすかったです。
回答ありがとうございました m(_ _)m

お礼日時：2021/08/05 18:47

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/05 10:04

>右ループ、左ループというのは、それぞれ、

>R₂ R₃ C₁ C₂ のループと図でいう青ループでしょうか？
右ループ=R2R3C1C2のループ
左ループ=VR1R2R3のループ

>右ループについて。キルヒホッフの第2法則は、
>(起電力)＝(電圧降下)と習ったのですが、

キルヒホッフの電圧則は回路中の任意のループで
ループに沿った方向で素子の電圧を全部足しこむとゼロになる
ということです。

例えば、右ループで、右回り方向の電圧を正とすると
R2I1 + R3I1 - (C1とC2の電圧)=0 →(R2 + R3)I1 = 0 → I1 = 0

右ループで、右回り方向の電圧を正とすると

V - R1(I1+I2) - R2I1 - R3I1 = 0
I1 = 0 なので
V - R1I2 = 0　→ I2 = V/R1
#抵抗の電圧降下は電流の方向とは逆になることに注意。

>それとも｢－(C₁とC₂の電圧)｣としているから
>電池と見なしているのでしょうか？

電源と受動素子の区別は考えなくてよいのです。
全部足してゼロになるだけ。
オームの法則もキルヒホッフ風に書けば
V - RI = 0 (電源の電圧の正の方向と、電流の正の方向が同じ場合)

この回答へのお礼

なるほど、自分が習ったのは雑に書くと
　(起電力)＝(電圧降下)
だったので、回答者さまの考え方(当たり前なのかもしれないけれど…)のほうが断然やりやすい気がします。
何度もお付き合いいただきありがとうございました m(_ _)m

お礼日時：2021/08/05 18:40

No.7 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/05 13:52

短絡状態とはどのような状態でしょうか…。

<<

SWを入れる以前に2つのCの電荷＝0だということで
入れた直後はCの電荷はやはり0であるので
Cの両端電圧が0、
それは2つのCのかわりに1本の導線に置き換えたと同じ
という意味です。
もちろんSWを入れた直後だけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、では、スイッチONして、t＝∞の定常状態における電気抵抗も短絡状態といえるのですかね…？

お礼日時：2021/08/05 18:48

No.8 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2021/08/05 22:29

なるほど、では、スイッチONして、t＝∞の定常状態における電気抵抗も短絡状態といえるのですかね…？＜＜

それはちがいます。
Cが短絡状態なのはSWを入れた直後だけです。
このSWをいれた直後にCに流れ込む電流が最大であって
それから時がたつにつれてだんだん減少していく。
そしてｔ→∞ではCの電流は0になる。
いわばｔ→∞ではCは∞の抵抗と等価になる。
このCに流れる電流のためにCには電荷がだんだん増えていき
Cの電圧がだんだん増えていくので、抵抗R1、R2の直列回路の
電圧も増えていき、最初0だったR1、R2の直列回路の電流も
だんだん増えていってｔ→∞で最大になるという構図です

この回答へのお礼

ああ、なるほど！色々間違っていたのが判明して、そして理解出来ました！
何度もありがとうございました m(_ _)m

お礼日時：2021/08/05 23:19