矩形波から取り出せる正弦波

奇数倍の正弦波を足し合わせると 矩形波に近づいていく…これOKです。基本波に3倍,5倍,7倍と時間軸で足し合わせると、ナルホド矩形波にだんだん近づく様子が あちこちの参考書にあります。
そして 逆に「矩形波から元の正弦波が取り出せる」とも書いていますが、ここに疑問をもっています。
私の突っつきどころは　この「元の正弦波」というところです。
例えば、今 0V/5Vの矩形波が0Vの時、この時間に3倍の正弦波は取り出せないと思うのです。
次の立ち上がりがいつ来るか未来の事は分らないからです。
0V/5V矩形波の場合、ｆ1+ｆ2+…の他に+2.5Vが必要です。0Vの今、0Vから2.5Vが取り出せないのと同じではないかと。
結論：元の正弦波は取り出せない（恐らく半周期でも少し減衰している？不連続な正弦波もどき？）
これどうでしょう？

質問者からの補足コメント

• では、こうしてみます。
  私の作った土俵は次の通りです。
  今、オシロで0.1Hzの矩形波とフィルターで取り出した3倍波を同時に観測しています。
  現時刻、矩形波の電圧は0Vです。3倍の正弦波が観測できます。
  8秒前に矩形波の立ち下がりが来たので、もう2秒したら立ち上がりが来る筈です。
  1秒経ちました。正弦波もそれらしく変化しています。あと1秒で立ち上がりが来る筈です。
  更に0.9秒経過、もう後僅か0.1秒で立ち上がりが来る筈です。
  そして0.1秒経過、固唾をのんで立ち上がりを待っていましたが、何と立ち上がりが来ず0Vのままでした。
  さて、3倍波はどんな波形になるでしょうか？という問いかけです。
  私の土俵で宜しくお願いします。

    補足日時：2021/08/14 18:23

• 本当の0を何倍しても0。高調波を足し合わせて本当の0になったら、そこに元の高調波は存在しない。
  無限に小さい0なら、無限倍したら1にもなるし。無限に小さい0には高調波が存在する。
  よくある「無限」という悪戯坊やの仕業ですね。
  素人的には こんななことで纏めてよいでしょうか？
  
  数学は参考迄にして、作業机の上で動かしてナンボの技術者的には、
  ・矩形波から高調波を取り出しているのではない！（理想フィルターが作れないからという理由だけで無く）
  ・正弦波もどきを『作っている』（周期的に音叉を叩いている）
  
  こう言い切って貰えたら　実にスッキリします。
  反論求めます。

    補足日時：2021/08/20 18:05

No.22 回答者： m-jiro 回答日時： 2021/08/19 21:47

#20、21です。

こんばんは。

>　3倍の高調波は存在すると思います。
→　小生、矩形波そのものには高調波は存在しないと考えています。
もし存在するのであれば矩形波に重なって3f、5fなどの周期で凸凹がなくてはなりません。

>　位相を合わせて奇数波を足し算すると、見事な矩形波となるみたいだし。
→　合成では　3f＋5f＋7f＋･･･＝0（波形が平たん）　になっても　＝0 となった波形から3fとか5fなどが分離できるとは思えません。
例えば、
sinωt という 振幅1V の交流電圧があったとします。
この電圧に逆極性の －sinωt なる電圧を加えるとゼロになります。
このゼロになった"交流電圧"には「 sinωt なる電圧を含んでいるから取り出せる」となるでしょうか？

>　SINとCOSINを同じ袋に入れてかき混ぜても、元通り取り出せるといいます。直交しているから（混ざらない）
→　直角変調のことですか？　本件とは関係ないと思いますが。
小生の知るところを書くと、
1つの搬送波で2つの信号を送ることができますが復調には送信側で使ったのと同一位相の信号が必要です。
アナログ時代のカラーテレビは色信号の伝送にこの方法を使っていました。
赤系統の色信号で副搬送波のsin波を振幅変調し、青系統の色信号で同じ副搬送波のcos波を振幅変調して一緒にします。
これを送信側で使ったのと同じsin波で復調すると赤系統の信号が取り出せ、cos波で復調すると青系統の色信号が取り出せます。
搬送波と復調波の位相が90ﾟ違っていると正相の半分と負相の半分が出てくるので後続のLPFで打ち消されるのです。

>　3ｆと5ｆを混ぜても取り出せると思っています（直交かどうかは知りませんよ）。例の理想フィルターで元の波形が取り出せそうな気がします。
→　取り出せますね。矩形波の出力を3fのBPFと5fのBPFに接続すれば3fのBPFからは3fが取り出せ、同時に5fのBPFからは5fが取り出せます。
直交については3fと5f、周波数が異なるので問題になり得ません。同一周波数の信号なら直角云々が検討できますが。

>　じゃぁ、何故 矩形波だとダメなんだ？フィルターで漉せる余分な物が混ざっているだけなのに。
→　きれいな正弦波が得られないことですか？　「フィルターで漉せる」ではなくて「フィルターが正弦波（もどきを）作っている」ということです。
フィルターのQが高ければ一瞬のパルスをトリガーにしてきれいな正弦波を長時間出力します。
楽器のチューニングに音叉を使いますね。たたくとポーンという音が当分続きます。これと同じ原理です。

>　ここからは 私の思いつき/感覚の話ですが、高調波の足し算で交流成分がなくなってしまうからではないかと。今現在の直流0Vから 正弦波を取り出せ！っても無理なんじゃない？
恐らく数学なら スッキリと解説出来るんじゃないかと思います。
→　Qが低いBPFを使った場合でも高調波が出てくれば「含んでいる」と言えるでしょう。それができるまでは信じられません。
（Qが高いと共振を生じる → BPFが高調波を「作った」ことになる。確かフィルターのQが0.707以下なら共振を起さないはず）
矩形波は低QのLPFを通すとエッジが鈍り、HPFを通すとトゲを生じます。両方通すと角（つの）のような波形になります。その位置は矩形波のエッジの位置ですから周波数は元の矩形波と変わりません。つまり高調波はありません。

>　右から寄って行ったら正弦波あり、左から寄って行ったら何もない、とか。
→　合成はできても分解はできない。

>　本当に本当の話は「正弦波は取り出せる」かも 知れません。
→　小生「取り出せない」に1票。
（奇数倍高調波だけですが）取り出せているように見えるのはBPFが共振しているから。

>　その道の偉い先生が「フィルターで取り出せるは 不適切、正弦波もどきを作っていると言うべき」と 呟いてくれたら 凄い自信になりますが。論破できる素人が現れたら 是非 話を聞きたい。それまでは半分戯言。
→　賛成。電気理論書は書き換えですね。
「高調波を含んでいる」に何年惑わされたか。

愚考にお付き合いいただき、ありがとうございました。

この回答へのお礼

しっかりと私の土俵でご教授頂き 本当に有り難うございます。

正直、高調波が存在すると言うべきか否かについては、少し説明つきで どちらもありと思っていますが（どっちかと言うと存在するの方が美しいかな）、
No.22さんの「もし存在するのであれば矩形波に重なって3f、5fなどの周期で凸凹がなくてはなりません。」コレが理解出来ていません。
3ｆ，5ｆだけでなく無限の高調波を足し合わせると、凸凹がなく平坦になると理解しています。

次のsinと-sinで0Vになる話は　私が説明の一つに使おうかと思っていた事で、全く同感。しかし矩形波は0Vの所があるって事で、エッジもありますから この話では片付けられないと思います。

それ以降は、少しは引っかかりながらも、No.22さんの考えはよく理解できます。（実は私もVTR設計に携わっていたので、サンゴーハチと言えば 3.579545ときますし、白黒TVに後から色を載せたNTSCを何と賢いのだと関心したものです）

お礼日時：2021/08/20 00:50

No.21 回答者： m-jiro 回答日時： 2021/08/18 00:27

#20です。

>　最初の4行の「…はずです。」これは納得いかないです。
→　「はず」では変ですね。取り消して「です」と断言することにします。

>　インパルス（現実にはスパイク）やステップ（現実には立上がりのみ）なら、偶数波と言わず 好きな周波数を取り出せる（減衰波しますが）。
→　BPFの通過周波数を変えることで任意の周波数を取り出せますね。

>　減衰しない理想の話をするなら パルスはいらない、エッジ1つで十分と思います。
→　BPFのQが無限大ならそうなります。

>　「元の3ｆの正弦波」を取り出しているのではなく、1周期毎に3ｆ波をつなぎ合わせていると言うのが正しいのではないかという結論に至った訳です。
→　同感です。
「矩形波は3f、5f･･･を含む」ではなく「3f、5f･･･の共振回路を駆動できる」。小生そう理解することにしました。

実は小生、ずっと貴兄と同じような疑問を持っていました。3fや5fの存在位置（時刻）です。高調波は何時から何時まで存在しているのか。それがわからないので時系列と周波数系列の変換などサッパリわかりませんでした。
その後も何かあるたびに考えていたのですが、解決しましたね。
貴兄をはじめ皆さんの書込みは大変参考になりました。
ありがとうございました。

この回答へのお礼

私の論じたいことではないので、スルーしてもいいのですが、折角話が噛み合う方の様なので 最初の4行について、
3倍の高調波は存在すると思います。位相を合わせて奇数波を足し算すると、見事な矩形波となるみたいだし。
SINとCOSINを同じ袋に入れてかき混ぜても、元通り取り出せるといいます。直交しているから（混ざらない）
3ｆと5ｆを混ぜても取り出せると思っています（直交かどうかは知りませんよ）。例の理想フィルターで元の波形が取り出せそうな気がします。
じゃぁ、何故 矩形波だとダメなんだ？フィルターで漉せる余分な物が混ざっているだけなのに。
ここからは 私の思いつき/感覚の話ですが、高調波の足し算で交流成分がなくなってしまうからではないかと。今現在の直流0Vから 正弦波を取り出せ！っても無理なんじゃない？
恐らく数学なら スッキリと解説出来るんじゃないかと思います。
右から寄って行ったら正弦波あり、左から寄って行ったら何もない、とか。

本当に本当の話は「正弦波は取り出せる」かも 知れません。
その道の偉い先生が「フィルターで取り出せるは 不適切、正弦波もどきを作っていると言うべき」と 呟いてくれたら 凄い自信になりますが。論破できる素人が現れたら 是非 話を聞きたい。それまでは半分戯言。

ご意見を如何い 大変心強く思います
長々とお付合い有り難うございました。

お礼日時：2021/08/18 19:02

No.20 回答者： m-jiro 回答日時： 2021/08/17 15:30

矩形波の中に3倍高調波（以後 3f と書く）は存在しないと思います。

もし存在しているなら矩形波の角張った波形の中に3fに相当する周期で凸凹がなくてはならないでしょう。あるいは立上り・立下りの位置が変動していなくてはならないはずです。
では、なぜ3fや5fが存在すると言われるのか。実際、1MHzの矩形波を作って無線受信機に入れると3MHzや5MHzで受信でき、2MHzや4MHzは受信できません。これは受信機内部の共振回路が3fや5f･･･に共振している、つまり受信機内部で3MHzとか5MHzを作っているためと思います。

なぜ奇数倍波でないと受信できないか、考えてみました。
矩形波をBPFに通せば正弦波が得られると言われますが、その場合BPFは相当にQが高いもの、具体的には共振回路でなくてはなりません（そうでないと波形が継続しません）。
矩形波の立上がりが3fのBPFに入ると3fでの共振が始まります（共振位相は正方向から始まるとします）。すると矩形波の半サイクル後（3fの1.5サイクル後）には負方向に向きます。このとき矩形波は立下りですからBPFの共振と同位相となり共振は増大します。
BPFが2fであるなら、矩形波の半サイクル後は2fの1サイクル後ですから共振位相と立下り極性が一致せず共振は続きません。
奇数次しか存在しないのはこのような理由があるためと思います。

無線受信機で3fや5fが受信でき、2fや4fは受信できないということはこのようなことで説明がつくと思います。3fを受信している時は同調回路が3fになっている、つまりBPFは3fになっているわけです。
スペアナは基本的にスーパーヘテロダイン受信機ですから動作は同じですね。なおFFTでもスペクトル表示ができますが、小生動作原理はわからないので説明できません。悪しからず。

この回答へのお礼

見るに見かねたのでしょう？
ご参加有り難うございます

最初の4行の「…はずです。」これは納得いかないです。
その後のお話はだいたい同感ですね。
そう だから共振ですから厳密には減衰してます。立上がり/立ち下がりのタイミングで振幅が元に戻ってると言うのが本当に近い話ではないかと思っています。マイコンCLKなら当たり前に逓倍波が取り出せてますが、これとて 矩形波の中に潜む3ｆを取り出しているのではなく、PLLなりフィルターなりで 3ｆ正弦波もどきを『作っている』と言うのが正しいのではないでしょうか？

インパルス（現実にはスパイク）やステップ（現実には立上がりのみ）なら、偶数波と言わず 好きな周波数を取り出せる（減衰波しますが）。
減衰しない理想の話をするなら パルスはいらない、エッジ1つで十分と思います。

なので、「元の3ｆの正弦波」を取り出しているのではなく、1周期毎に3ｆ波をつなぎ合わせていると言うのが正しいのではないかという結論に至った訳です。

どうですか？
これでOK貰えませんか？

お礼日時：2021/08/17 20:14

No.19 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/17 07:31

こりゃ時間の無駄でしたね。

この回答へのお礼

お疲れ様でした

お礼日時：2021/08/17 18:29

No.18 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/16 10:11

>どんなフィルターか分ってませんが、

>Rがある以上　減衰するのではありませんか？

LCR直列共振器を BPF にする場合 R を小さくするほど
Qがあがり理想の単一周波数に近づきますが、
完全なフィルタは作れません。

>Rがなければ減衰しない。しかしこれなら矩形波でなくても、
>立ち上がりエッジひとつで、ず～っと正弦波が現れることに
>なったりしませんか？
>もしそうなら矩形波から取り出したとは言いがたい。

①フーリエ変換の周波数領域は時間をパラメータに持ちません。

②矩形波が途中で途切れる場合、フーリエ変換のスペクトルは
高調波の周波数にピークを持つ連続スペクトル、
つまり無数の様々な周波数の正弦波の集まりになりますが、
個々の正弦波は無限の過去から無限の未来へ続きます。

これらを合成することによって途中で信号が途切れるのです。

周波数成分の一部を抜き出すと、正弦波の合成が壊れ、
うまくゼロにならず減衰が長引くように見えるのです。

>実験してみれば分ると言うのは違うと思います。
実験は私の作ったシミュレーションプログラムで手軽に行えます。
矩形波が途切れるところをグラフにしましたが、
矩形波が入力され始めるところとかはあなたの予想の
斜め上を行くと思いますよ。グラフにすると
一目瞭然でわかることが沢山あります。

理屈は、制御理論、信号処理と
その基礎となるフーリエ変換、ラプラス変換　等を学んでください。
＃さらにその基礎の複素関数論に一部も必要。

これまでの問答で、あなたはまだフーリエ変換の「意味」を
よくわかっていないと思います。
「周波数」という言葉は日常なじみ深いですが、実は奥が深いのです。

この回答へのお礼

完全なフィルタは作れません…って、この手の返しは不要ですね、いちいち反応する私もイマイチですが☺。
私の予想の斜め上…聞いてないことですが、これは興味あります。気が向いたら教えて下さい。
大体 聞いてない話は 斜め読みですが、私の？マークには 出来るだけ「端的に」回答頂けたら、2，3回のキャッチボールで終わる話じゃないかと思ったりします。
理論だけでいいのです。理想フィルターは作れるのです。無限もありなのです。その上で、「元の正弦波は取り出せない」でよろしいでしょうか？

お礼日時：2021/08/16 23:18

No.17 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/15 21:04

>結論：立上りがこなくなったから 減衰したのではなく、立下り時点 または>立上り時点から減衰している。

>従って、取り出した波形はどの部分も「正弦波ではない」。
>元の正確な正弦波は取り出せない。

もちろんそうです。理想的なフィルタは存在しません。

>理想的なフィルターなら正弦波が取り出せるというのは間違いで、
>実は「正弦波もどき」でした。

実験してみればわかりますが、フィルタのQを上げれば出力は
正弦波に近づきます。「理想的」(Q=無限大)なら正弦波なはず。

この回答へのお礼

どんなフィルターか分ってませんが、Rがある以上　減衰するのではありませんか？
Rがなければ減衰しない。しかしこれなら矩形波でなくても、立ち上がりエッジひとつで、ず～っと正弦波が現れることになったりしませんか？
もしそうなら矩形波から取り出したとは言いがたい。

実験してみれば分ると言うのは違うと思います。理屈があって初めてものが言えるのではないかと思ってます。

お礼日時：2021/08/15 22:33

No.16 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/15 14:12

No.15 あちこち誤っていたので修正

これは、LCR直列共振回路に方形波を入力し、
抵抗の電圧をプロットしたもの。
p-p 1V 10Hzの方形波を 30Hz のBPFに入力して
3倍の高調波を取り出してます。フィルタのQは28.5に設定。

BPFのQが有限のため、正弦波は方形波の不連続部の影響で
振幅が凸凹してます。

３００秒のところで方形波の入力を打ち切ると
方形波からエネルギーが来なくなるので
出力の正弦波は減衰を始めます。

以下 python ソース
過渡応答の計算はラプラス変換で求めてます。

方形波が正弦波の和であることと、フィルタで正弦波を取り出すことが
別物であることがわかると思います。

フーリエ変換は無限の過去から無限の未来までの信号をすべて分析して
方形波に含まれる正弦波の成分を求めます。

方形波から高調波を取りだす場合、出力は過去の入力から決まり
未来の影響は受けません。


Python ソース

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

L = 2.6 / 9 # H
C = 1 # F
R = 0.00628*3 # Ω

a = R / (2*L)
w0 = math.sqrt(1/(L*C) - a**2)

print(f"a={a}, ω0={w0}")
print(f"Q={w0*L/R}")

t = np.linspace(0, 400, 100000)
vsum = np.zeros(t.shape[0])

for i in range(60):
vsum += np.where(t-i*5 >= 0, (R/(L*w0))*np.exp(-a*(t-i*5))*np.sin(w0*(t-i*5)), 0) * (-1)**i

plt.plot(t, vsum)
plt.show()

この回答へのお礼

有り難うございます。
力説戴いた殆どを理解してませんが、
結論：立上りがこなくなったから 減衰したのではなく、立下り時点 または立上り時点から減衰している。
従って、取り出した波形はどの部分も「正弦波ではない」。
元の正確な正弦波は取り出せない。

理想的なフィルターなら正弦波が取り出せるというのは間違いで、実は「正弦波もどき」でした。
こういうことでよろしいでしょうか？

お礼日時：2021/08/15 18:08

No.15 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/15 13:06

＞さて、3倍波はどんな波形になるでしょうか？という問いかけです。

過渡応答を計算するだけなんだけど
こんな感じになる。

これは、LCR直列共振回路に方形波を入力し、
抵抗の電圧をプロットしたもの。
10Hzの方形波を 30Hz のBPFに入力して
3倍の高調波を取り出してる。フィルタのQは28.5に設定。

BPFが理想的ではないため、正弦波は３波毎に減衰し元の振幅に
戻ることを繰り返してます。

３００秒のところで方形波の入力を打ち切ると
出力の正弦波は減衰を始めます。

以下 python ソース
過渡応答の計算はラプラス変換で求めてます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import math

L = 2.6 / 9 # H
C = 1 # F
R = 0.00628*3 # Ω

a = R / (2*L)
w0 = math.sqrt(1/(L*C) - a**2)

t = np.linspace(0, 400, 100000)
vsum = np.zeros(t.shape[0])

for i in range(30):
　vsum += np.where(t-i*10 >= 0, (R/(L*w0))*np.exp(-a*(t-i*10))*np.sin(w0*(t-i*10)), 0)

plt.plot(t, vsum)
plt.show()

No.14 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/14 11:39

>そういう話？→そういう話の積もりはありませんでした

ふ~ん、そうなんだ。そうすると
言っていることがよく解らないので
フーリエ変換の常識を幾つかかいておくと

①信号の周波数成分とは信号の無限の過去から無限の未来を全て見て
決定する。方形波が正弦波の和というのも
無限の過去から続く方形波に対してのみ成り立つ。
未来のことが解らない波形はフーリエ変換出来ないので正弦波に分解することも￣不可能。
②方形波をフィルタして、定常解としての正弦波が取り出せる
という話と方形波が正弦波に分解できるというのは
関連しているが別の話。高域のフィルタが不完全なら当然出力にグリッチ
が出力されるし、完全なフィルタなんてない。
③方形波は正弦波に分解できるというのは厳密には間違い。
正弦波の合成で方形波の不連続部分は当然再現できず「ヒゲ」が残る。

この回答へのお礼

見捨てず ご教示有り難う御座います。

土を固めて 徳俵も埋め込んで土俵をつくって見ました。
補足コメントはどうなりますか？
先ずそれが知りたいです。

お礼日時：2021/08/14 18:28

No.13 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/14 09:56

0/5Ⅴ矩形波なら、2.5Vは直流分だよね？

周波数0(直流)で、
2.5sin(0・t+90度)
とかけば、これも立派な正弦波なんだが
そういう話？

普通方形波が奇数倍の周波数の正弦波の和になる
というのは、方形波の平均が0の時の話。

この回答へのお礼

そういう話？→そういう話の積もりはありませんでした。
取り出した正弦波は減衰してるとか パルスエッジ部で不連続だったりしないのかな？と思った訳です。

・・・平均が0の時の話。→言うに及ばず、方形波の平均が2.5Vでも正弦波の和+2.5Vでしょ？
というか、なんの話だ？と思ってしまいます。

お礼日時：2021/08/14 10:58