因数定理

k を実数の定数とし f(x)=kx(1-x) とする。
f(f(x))=x を満たす正の数 x がただ1つ存在
するように k の値を定めよ。
という問題の私の答えは以下の通りです.あっていますでしょうか?

kを実数の定数とし
f(x)=kx(1-x)
g(x)=x-f(f(x))
h(x)=x-f(x)
とすると

h(x)=0の任意の解x=aに対して
h(a)=a-f(a)=0
a=f(a)
↓これをg(x)=x-f(f(x))に代入すると
g(a)=a-f(f(a))=a-f(a)=0
だから
x=aはg(x)=0の解になるから
因数定理からh(x)の因数はg(x)の因数となるから
g(x)はh(x)で割り切れる

h(x)=x-kx(1-x)
=x{1-k(1-x)}
=x(kx-k+1)

g(x)=x-f(f(x))
=x-kf(x){1-f(x)}
=x-(k^2)x(1-x){1-kx(1-x)}
=x{1-(k^2)(1-x)(1-kx+kx^2)}
=x{1-(k^2)(1-(k+1)x+2kx^2-kx^3)}
=x{k^3x^3-2k^3x^2+k^2(k+1)x-k^2+1}

↓g(x)はh(x)で割り切れるからh(x)で割り因数分解すると

=x(kx-k+1){k^2x^2-k(k+1)x+k+1}

k=0の時
x=0がg(x)=0のただ1つの解だから正の解数0

k≠0
x1=(k-1)/k
x2={k+1-√(k^2-2k-3)}/(2k)
x3={k+1+√(k^2-2k-3)}/(2k)
とする
0,x1,x2,x3はg(x)=0の解

k<-1の時
0<x2<x1
だから正の解数2以上

k=-1の時
x1=(k-1)/k=2
x2=x3=0
だから正の解数1

-1<k<0の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

0<k≦1の時
x1=(k-1)/k≦0
x2,x3は虚数
だから正の解数0

1<k<3の時
x1=(k-1)/k>0
x2,x3は虚数
だから正の解数1

k=3の時
x1=x2=x3=2/3
だから正の解数1

k>3の時
0<x1<x3
だから正の解数2以上

∴
-1≦k<0.または.1<k≦3

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/26 10:47

合っていると思います。

なるほど、そうやって因数分解するんですね。美しい。
私は、因数 h(x) が見つけられずに
3 次方程式 g(x)/x = 0 の解の配置を考えたので、
場合分けがけっこうたいへんでした。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2021/08/26 11:18