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フーリエ級数展開を求めるまでの過程の計算をわかりやすく教えて頂けないでしょうか?

また、内積<f(x), f(x)>=∫[ーπ, π]{f(x)}^2 dxにおいて、 答えが1の時は正規直交基底、0の時は直交基底ですが、なぜ1の時は正規直交基底にしようとしたのでしょうか? また、1や0以外の数値はなんと呼ばれるのでしょうか?

A 回答 (2件)

(定理)


区間[-π,π]で
任意の積分可能な関数
f(x)
に対して
a(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)cos(nt)dt (n=0,1,2,3,…)
b(n)=(1/π)∫_{-π~π}f(t)sin(nt)dt (n=1,2,3,…)

定めると

f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

フーリエ級数展開できる
---------------------------
という定理から
フーリエ級数展開
f(x)=a(0)/2+Σ_{n=1~∞}{a(n)cos(nx)+b(n)sin(nx)}

求められる

この時
{α,βcos(nx),γsin(nx)}が基底になるのです

<f(x), f(x)>=∫[-π, π]{f(x)}^2 dx=1

場合は
f(x)のノルムが1というだけであって

f(x)だけでは基底にはならないので正規直交基底になりません

<f(x), f(x)>=∫[-π, π]{f(x)}^2 dx=0

場合は
f(x)=0
となって
0は絶対に基底にならないので直交基底にはなりません
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ここは1から丸々教えるようなあなたの家庭教師のお教室ではありません。



まずは自分で検索でもして勉強してきてください。

そのうえで、『自分でやるとこうなるが・・・』のように、わからないところをはっきりさせてピンポイントで聞いてください。

勉強してない子にな、誰も相手はしたくありません。
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