行列の二次方程式

A^2+A+E=0を満たす二次正方行列Aを求めよという問題についての質問です。自分は貼り付けた画像のように解きました。答えは最後に書いた2つかと思ったのですが、解答を確認したところもう一つ
ωE　（ω^3＝１かつω≠１）が解に含まれていました。ただいくらやってもそれだけは出てこなかったので途中式のどの部分に不備があるか指摘していただけると幸いです。

式の中でケ・ハ公式と書いているのはケーリー・ハミルトンの公式の略です。自分しか見ないつもりで書いていた演習ノートなので同値記号の使い方や書き方が雑なことがあるかもしれませんがあまり気にしないでいただけると幸いです。
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/31 10:38

ゲイリーハミルトンの定理を応用して

「a+d = -1 かつ ad - bc = 1 ならば
　　A^2 + A + E = 0
である」とは言えるが、逆は言えない。だからこれは解の十分条件に過ぎず、漏れが出ても不思議はない。

　A を成分に分けて計算するという方針をブラさず素直に展開すると、
　　a^2 + a + 1 + bc = 0
　　d^2 + d + 1 + bc = 0
　　(a + d + 1)b = 0
　　(a + d + 1)c = 0
という連立方程式。

　そこでxの方程式
　　x^2 + x + 1 + bc = 0
の二つの解を
　　u(b,c) = (-1+√(1-4bc))/2
　　v(b,c) = (-1-√(1-4bc))/2
と書くことにすると、解くべき連立方程式は
　　a∈{u(b,c),v(b,c)}
　　d∈{u(b,c),v(b,c)}
　　(a + d + 1)b = 0
　　(a + d + 1)c = 0
となる。
　ここで
　　∀b∀c( u(b,c) + v(b,c) + 1 = 0 )
であることに注意。

(I) a + d + 1 ≠ 0のとき
　　a = d
でなくちゃいけない。そして
　　b = 0
　　c = 0
と決まる。つまり、
　　a = u(0,0), b = 0, c = 0, d = u(0,0)
　　a = v(0,0), b = 0, c = 0, d = v(0,0)
が解の候補であり、この時実際、
　　a + d + 1 ≠ 0
である。なのでこれらのどっちもが解で、この場合の解はこれだけ。
　ちなみに { 1, u(0,0), v(0,0) } は1の立方根。

(ii) a + d + 1 = 0 のとき。
　すなわち、a = u(b,c), d=v(b,c) か、a = v(b,c), d=u(b,c) のどっちかである。b, cはなんでもいい、というわけで、
　　a = u(b,c), b = 何でも, c = 何でも, d = v(b,c)
　　a = v(b,c), b = 何でも, c = 何でも, d = u(b,c)
のどれもが解で、この場合の解はこれだけ。（もちろんこれらの双方に、u(b,c)=v(b,c)になる場合が含まれている。）
結局、「a+d = -1 かつ ad - bc = 1 」は(ii)と同値でしょ。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/10/31 10:41

2次のケーリーハミルトンは任意の2次正方行列に対して

A²-(a+d)A+(ad-bc)E=零行列
と主張しているだけ。
a+d=-1、ad-bc=1は確かに
A²+A+1=零行列
を満たすが、他の解の可能性を否定しない。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/31 10:01

A^2+A+E=0

A
=
(a,b)
(c,d)
とすると

A^2+A+E
=
(a,b)(a,b)+(a,b)+(1,0)
(c,d)(c,d).(c,d).(0,1)
=
(a^2+bc,b(a+d))+(a,b)+(1,0)
(c(a+d),d^2+bc).(c,d).(0,1)
=
(a^2+a+bc+1,b(a+d+1))
(c(a+d+1),d^2+d+bc+1)
=0

a^2+a+bc+1=0
b(a+d+1)=0
c(a+d+1)=0
d^2+d+bc+1=0

a^2+a=d^2+d
a(a+1)=d(d+1)
bc=-a^2-a-1
a+d+1=0.または.(b=c=0)

a+d+1=0&c=0の時
d=-a-1
a^2+a+1=0
∴a=(-1±i√3)/2

a+d+1=0&c≠0の時
d=-a-1
b=(-a^2-a-1)/c

b=c=0の時
a^2+a+1=0
d^2+d+1=0
∴a=(-1±i√3)/2
∴d=(-1±i√3)/2

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/10/31 09:37

ケーリー・ハミルトンの定理の逆は成り立ちません。

A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
は成り立ちますが、
A^2-xA+yE=Oのとき、x=a+d,y=ad-bcになるとは限らないのです。

A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
A^2-xA+yE=O
上の式から下の式を引くと
{x-(a+d)}A={y-(ad-bc)}E
となります。
x=a+dであればy=ad-bcとなりますが、x≠a+dならば両辺をx-(a+d)≠0で割って
A={y-(ad-bc)}/(x-(a+d)}*E
となり、この場合もA^2-xA+yE=Oを満たすのです。
これを解くにはA=kEと置き、A^2-xA+yE=Oに代入すればkについての方程式が得られますので解けばよい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2021/10/31 01:33

a とか b とか c とかがそのようなものであるのかをきちんと書いておかないとダメだねぇ.

あと, これ実は最初からアウト. 「ケイリー・ハミルトンの定理から」ってのはやりがちなんだけど, そこから出てくる条件が本当に成り立つとは限らないんだ. 例えば
A^2 - E = O
を考えたときに, これが成り立つ全ての A に対して a+d=0, ad-bc=-1 になるかな?