偏微分の問題です。 w=f(x,y,z)でx,y,zがu,vの関数であるとき、 ∂w/∂u=∂w/∂

偏微分の問題です。
w=f(x,y,z)でx,y,zがu,vの関数であるとき、
∂w/∂u=∂w/∂x・∂x/∂u+∂w/∂y・∂y/∂u+∂w/∂z・∂z/∂u
この式の証明を教えて頂きたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/05 19:42

f のテイラー展開を

w₁ = w + (∂w/∂x)(x₁ - x) + (∂w/∂y)(y₁ - y) + (∂w/∂z)(z₁ - z) + o(r₁),
r₁ = √((x₁ - x)² + (y₁ - y)² + (z₁ - z)²).
x, y, z のテイラー展開を
x₁ = x + (∂x/∂u)(u₁ - u) + (∂x/∂v)(v₁ - v) + o(h₁),
y₁ = y + (∂y/∂u)(u₁ - u) + (∂y/∂v)(v₁ - v) + o(h₁),
z₁ = z + (∂z/∂u)(u₁ - u) + (∂z/∂v)(v₁ - v) + o(h₁),
h₁ = √((u₁ - u)² + (v₁ - v)²).
とすれば、 v₁ = v のとき、代入して
w₁ = w + { (∂w/∂x)(∂x/∂u) + (∂w/∂y)(∂y/∂u) + (∂w/∂z)(∂z/∂u) }(u₁ - u)
　　　+ { (∂w/∂x) + (∂w/∂y) + (∂w/∂z) }o(h₁) + o(r₁).　←[1]

(u₁,v₁)→(u,v) のとき h₁→0, (x₁,y₁,z₁)→(x,y,z), r₁→0 だから、[1] は
w₁ = w + { (∂w/∂x)(∂x/∂u) + (∂w/∂y)(∂y/∂u) + (∂w/∂z)(∂z/∂u) }(u₁ - u)
　　　+ o(|u₁ - u|).
と書けて、
∂w/∂u = (∂w/∂x)(∂x/∂u) + (∂w/∂y)(∂y/∂u) + (∂w/∂z)(∂z/∂u).
であることを示している。