三角関数の公式の間の親子関係

三角関数に関係したいろいろな公式がたくさんありますが、全ての公式が独立に成立しているとは思えません。原初の祖先のような公式はどれなのでしょうか。或いは三角関数以外のものからこれらの公式は生み出されたのでしょうか。

No.1 回答者： springside 回答日時： 2005/03/16 08:28

加法定理：sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)と、sin-cos間の関係式：sin^2(a)+cos^2(a)=1の２つでしょ。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2005/03/16 10:10

No.1です。

訂正です。

加法定理：
　sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
　cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

と、

sin-cos間の関係式：
　sin^2(a)+cos^2(a)=1

の２つ（式としては３つ）でしょ。

No.3 回答者： ryn 回答日時： 2005/03/16 11:56

本当に最初まで戻ってしまうと

まさに言葉通り sin,cos の定義から出てきます．

この回答へのお礼

ご教示有難うございます。やはりそうなりますか。

お礼日時：2005/03/16 12:21

No.4 回答者： neKo_deux 回答日時： 2005/03/16 12:02

加法定理が覚えられないというか暗記が嫌いだったので、

回転行列
cos(a) -sin(a)
sin(a) cos(a)
から加法定理を毎回導いてました。

回転行列を忘れても、単位円の図とcos,sinの定義で作ってたし。

この回答へのお礼

回転行列というのは三角関数の体系の外にあるものですか。ご教示有難うございました。

お礼日時：2005/03/16 12:23

No.5 ベストアンサー 回答者： neKo_deux 回答日時： 2005/03/16 13:24

> 回転行列というのは三角関数の体系の外にあるものですか。

いえ、回転と角度を切り離して考えるのは難しいと思います。
No.4の「単位円の図とcos,sinの定義で作ってたし。」も、No.3さんの「sin,cos の定義」と同じ意味で、

直角三角形の斜辺と他の辺の長さ、角度の関係。
xy座標上の点pの原点からの距離、x座標、y座標と、pベクトルとx軸のなす角の関係。

がsin,cosだって所から出発します。

この回答へのお礼

何か非常にによく分かったように思いました。早速のご教示有難うございました。

お礼日時：2005/03/16 13:33

No.6 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/17 01:02

　加法定理は、回転行列も使えますが、使わなくても解けます。

　即ち、以下の３つの知識と能力さえあれば、
加法定理とsin^2+cos^2=1は導けます。

１：sinθ , cosθの定義
２：ピタゴラスの定理（三平方の定理）
３：直角三角形を描く能力？

そして、この２つさえ導ければ、他の三角関数の定理は計算で導けます。

この回答へのお礼

高校時代に習ったのかもしれませんが，ご教示に基づき，改めて勉強させていただきます。行列を使うのは鶴亀算を方程式で解くようなものでしょうか。

お礼日時：2005/03/17 08:59

No.7 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/17 20:33

>行列を使うのは鶴亀算を方程式で解くようなものでしょうか。

　一概に、解法に上下関係を付けることは出来ません。この問題にしても、回転行列やピタゴラスの定理以外にも、オイラーの公式を使っても解を導けます。
（∵e^(a+b)=(e^a)×(e^b)より。）

　情報系でも、ある分野によって解けるものが、他の分野でも解けることがあります。また、ある会社のある製品についての研究でも、物理学者が研究して実現方法を確立したと共に、化け学者が研究しても実現方法を確立したということがありました。

　これは、「一方の学者の方法が、他方の学者の方法と比べて上か下か」などと言うことは無いでしょう。どの分野で解くとしても、それは着想の違いであって、上下関係や優劣関係ではないです。

　私が最初にオイラーなどを書かずにピタゴラスの定理による解法のみを書いたのは、単にいろいろある解法の中で、専門知識が無い人でも理解できるように、「前提の知識を出来る限り必要としない解法を示すことを、普段から心がけている」からに過ぎません。
（※「思い付く限りの全ての解法を書くのが面倒なだけ」というのも事実ですが。。。）

この回答へのお礼

やさしいことと難しいことの関係は建物と基礎土台の関係と考えると、建物と土台は別々でも何とかなることが多いというようなことでしょうか。

お礼日時：2005/03/18 08:15

No.8 回答者： kansai_daisuki 回答日時： 2005/03/18 16:39

　建物と土台と言うよりは、登山に近いでしょう。

頂上に登るためには、どのようなルートも１つであるとは限らないと言うことです。

　つるかめ算と方程式には確かに包含関係があると思いますが、着想の違いですからね。違うルートで登ることができると言うことは、論理的という言葉で言えば、多角的な論理が出来るということです。

　これは、高校生ならばまだ易しいですが、年を取るにつれて巨大かつ複雑な問題を扱います。この際に、多角的な論理展開なしに問題を解くことは不可能というよりそんな人はいないでしょう。そんな怖い仕事をしている人がいたら、その仕事による成果を享受する側の一般人はクレームをつけてくるような質の仕事しか出来ないです。よって、年を取れば同時に多角的に考える必要があります。

　ここで、高校だけではなく大学にもなれば、より個々の講義に関連性があることが分かるでしょう。これが、社会人以降でも同様です。

この回答へのお礼

私は理解力に乏しいので，自分なりに考えてほかの方のご教示を目標に勉強したいと思っております。多角的というのも大切なことですね。

お礼日時：2005/03/18 17:04