sinθ≦θ の不等式がよく分かりません。これは常に成り立っているのですか？ 証明して欲しいです。

sinθ≦θ の不等式がよく分かりません。これは常に成り立っているのですか？ 証明して欲しいです。
またcosθ≦θやtanθ≦θでも成り立つのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/09 15:01

「θ≧0 の範囲では」常に成り立っていますね。

証明は、 f(θ) = θ - sinθ とでも置いて、
　　f(0) = 0, f’(θ) = 1 - cosθ ≧ 1 - 1 = 0 より
　　θ ≧ 0 のとき f(θ) ≧ 0
でよいでしょう。
「より」の部分は、更に詳しく書けば
「平均値定理により」ということになります。

θ＜0 の範囲については、No.1 にあるとおりです。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2022/03/09 16:21

三角関数を 単位円を使って 習いましたか。

sinθ≦0 は、θ が 第3象限と第4象限に ある時です。
cosθ≦0 は θ が 第2象限と第3象限 のとき、
tanθ≦0 は θ が 第2象限と第4象限 のときです。

三角関数のグラフを見れば 見たまんまです。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/03/09 09:21

３つとも、常には成り立たない

反例　
θ=-π (＝-180°)では

sinθ=0だから
sinθ>θ

cosθ≦θ　についても　cos(-π)>-πに矛盾

この値では、tanθ>-π　となり　3つ目の不等式も成り立たない

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/09 08:53

f(θ) = sinθ - θ

は f(0) = 0
df(θ)/dθ = cosθ - 1 ≦ 0

つまり θ = 0 で f(θ)=0
単調減少だから
θ > 0 では sinθ - θ < 0 → sinθ < θ
θ < 0 では sinθ - θ > 0 → sinθ > θ

>cosθ≦θやtanθ≦θでも成り立つのですか？
同様に考えてみよう。まずはグラフを描いてみるのがいい。