No.4ベストアンサー
- 回答日時:
αを代数的数とし、
f(x)∈Z[x]を
f(α)=0
となるような最小次数多項式とする
このとき、
もしg(x),h(x)∈Q[x]がf(x)=g(x)h(x)を満たすならば、
g(α)h(α)=f(α)=0
だから
g(α)=0.または.h(α)=0
g(α)=0
の時
g(x)∈Q[x]
だから
g(x)=Σ_{k=0~n}{a(k)/b(k)}x^k
となる
整数n≧0,整数a(k),整数b(k)≠0
がある
c=Π_{j=0~n}b(j)
G(x)=c*g(x)
とすると
G(α)=c*g(α)=0
G(x)
={Π_{j=0~n}b(j)}Σ_{k=0~n}{a(k)/b(k)}x^k
=Σ_{k=0~n}{a(k)Π_{j≠k}b(j)}x^k
∈Z[x]
だから
G(x)はG(α)=0となるようなZ[x]の最小次数多項式となるから
G(x)の次数nとf(x)の次数は等しいから
f(x)の次数はn
G(x)h(x)=c*g(x)h(x)=c*f(x)
G(x)h(x)=c*f(x)
G(x)の次数n
h(x)の次数をmとする
定数cの次数は0
f(x)の次数n
n+m=n
だから
m=0
だから
h(x)の次数は0だから
∴
h(x)は定数
No.3
- 回答日時:
あ, #1 はめちゃくちゃだ. そもそもこれ自体が実質的に「既約であること」を示せ, って話なのにそこで「既約でなくなる」って使っていいわけがない.
背理法では「そうでないと f が最小多項式ではなくなる」, 直接行くなら「f と g (または h) が定数倍の関係にある」ことを示すんだろうな.
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