No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1) 確率密度関数は、定義域全体で積分B25:B67すれば「1」になります。
確率ですから。この問題の場合には
P(-∞<x<∞) = ∫[-∞→-k]0dx + ∫[-k→0]{[2/(3k)]x + 2/3}dx + ∫[0→7k]{[-1/(21k)]x + 2/3}dx + ∫[7k→8k]{-[1/(3k)]x + 8/3}dx + ∫[8k→∞]0dx
= 0 + [[1/(3k)]x^2 + (2/3)x][-k→0] + [-[1/(42k)]x^2 + (2/3)x][0→7k] + [-[1/(6k)]x^2 + (8/3)x][7k→8k] + 0
= -[1/(3k)]k^2 + (2/3)k - [1/(42k)]49k^2 + (2/3)7k - [1/(6k)]64k^2 + (8/3)8k + [1/(6k)]49k^2 - (8/3)7k
= -k/3 + (2/3)k - (7/6)k + (14/3)k - (32/3)k + (64/3)k + (49/6)k - (56/3)k
= 4k
= 1
より
k = 1/4
よって
f(x) = 0 (x < -1/4)
= (8/3)x + 2/3 ( -1/4 ≦ x ≦ 0)
= -(4/21)x + 2/3 ( 0 ≦ x ≦ 7/4)
= -(4/3)x + 8/3 ( 7/4 ≦ x ≦ 2)
= 0 (2 < x)
(2) このグラフは書けますね?
x = -1/4 のとき f(x) = 0
x = 0 のとき f(x) = 2/3
x = 7/4 のとき f(x) = 1/3
x = 2 のとき f(x) = 0
これを直線でつなげばよいです。
(3) つまり P(-1/8≦X≦1/4) なので
P(-1/8≦X≦1/4) = ∫[-1/8→0]{(8/3)x + 2/3}dx + ∫[0→1/4]{-(4/21)x + 2/3}dx
= [(4/3)x^2 + (2/3)x][-1/8→0] + [-(2/21)x^2 + (2/3)x][0→1/4]
= -1/48 + 1/12 - 1/168 + 1/6
= 1/4 - 9/336
= 75/336
= 25/112
(4) つまり P(X≧1) なので
P(X≧1) = ∫[1→7/4]{-(4/21)x + 2/3}dx + ∫[7/4→2]{-(4/3)x + 8/3}dx
= [-(2/21)x^2 + (2/3)x][1→7/4] + [-(2/3)x^2 + (8/3)x][7/4→2]
= -(2/21)(7/4)^2 + (2/3)(7/4) + 2/21 - 2/3 - (2/3)2^2 + (8/3)2 + (2/3)(7/4)^2 - (8/3)(7/4)
= -7/24 + 7/6 + 2/21 - 2/3 - 8/3 + 16/3 + 49/24 - 14/3
= 29/84
(5) 期待値 E[X] は xf(x) つまり「実現値とその確率密度をかけたもの」を全範囲で積分します。
分散は、X^2 の期待値 E[X^2] (つまり x^2 * f(x) の全範囲の積分)を使って
V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2
で求めます。
(6) 分布関数とは、「-∞からその値までの累積確率」です。
つまり
F(x) = ∫[-∞→x]f(t)dt
で求まります。
(5)(6) は、時間がないので、とりあえずご自分でやってみてください。
ねじり鉢巻きでうんうん言いながら計算すれば求まるでしょう。
テクニックは不要で、体力勝負なだけです。
この回答へのお礼
お礼日時:2022/06/08 13:25
詳しく教えて頂きありがとうございます。
k=1解けました。(4)まで解けそうです。
初めて、質問してみて回答くるとは、思いませんでした。
ありがとうございます。
No.3
- 回答日時:
No.2 です。
計算してみれば
(5) E[X] = 3/4
V[X] = 31/96
(6) F(x) = 0 (x<-1/4)
= (4/3)x^2 + (2/3)x + 1/12 (-1/4≦x≦0)
= -(2/21)x^2 + (2/3)x + 1/12 (0≦x≦7/4)
= -(2/3)x^2 + (8/3)x - 5/3 (7/4≦x≦2)
= 1 (2<x)
かな。計算違いがあるかも。
No.1
- 回答日時:
(1)
関数が確率密度関数になる条件は、
・ 値が全て ≧0 であること。
・ 定義域全域上で積分したら値が 1 になること。
これだけです。
全域上の積分が 1 になるような k を求めてみましょう。
積分の値を k の式で表してから、方程式を解けばよいです。
(2)
各区間でのグラフが線分だから、これは簡単ですね。
(3)
先に求めた k の値を使って
P(-k/2 ≦ X ≦ k) = ∫[-k/2, k] f(x) dx を計算するだけです。
(4)
これも、先に求めた k の値を使って
P(X ≧ 4k) = ∫[4k, +∞] f(x) dx = lim[b→+∞] ∫[4k, b] f(x) dx
を計算するだけです。
(5)
期待値は μ = ∫[-∞, +∞] x f(x) dx,
分散は ∫[-∞, +∞] (x-μ)^2 f(x) dx です。
積分を、問題文中の f(x) を表す式で出てきた区間で
区切って計算しましょう。
(6)
F(x) = ∫[-∞, x] f(t) dt です。 これも
積分を、問題文中の f(x) を表す式で出てきた区間で
区切って計算しましょう。
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