物理
長さがL=4.0mのはしごが壁に立てかけてある。はしごと床の角度は60°である。壁とはしごの上端の摩擦は無視でき、床とはしごの下端の静止摩擦係数をμ=0.54とする。
はしごの質量は10kgで、はしごの重心Gははしごの中央にある。
このはしごを体重60kgの人がのぼったところ、はしごは倒れることなく人は上端まで到達することができた。
(1)体重60kgの人がはしごを登って図のx=3.0mまで到達したときの人とはしごの合計の重心をG'とする。重心G'の床面からの高さhを求めよ。
(2)このはしごが倒れることなく人が上端まで到達するためには、体重は何kg以下でなければならないか。
この2つの問題の解き方を教えて欲しいです。
(1)は重心の公式使って、(60×3+10×2)/(10+60)で棒の下端からのG'までの距離だしてsin使ってだしたところ、2.46mとなったのですが、違うようです、
(2)はモーメントのつりあいの式はだせたんですけど、そこからどうするか分かりません。
〈自分が出したモーメントの式〉
N1Lcos60°+(1/2)cosW1=N1Lcos60°μ
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1) 長さ 4 m のはしごの重心はその中央の「床の端から 2 m」の位置です。
人が乗っているのは、「床の端から 3 m」の位置です。
つまり、はしごと人の合計の重心は、「床の端から 2 m と 3 m の間」(その間隔は 1 m)です。
従って、合計の重心位置からはしごの中心までの距離を y [m] とすると、合計の重心位置から人までの距離は (1 - y) [m] になります。
「合計の重心」周りでは、力のモーメントがつり合うので(それが「重心」の定義)
はしごの重力のモーメント:時計回りに mg × y
人の重力のモーメント:半時計回りに Mg × (1 - y)
これがつり合うので
mgy = Mg(1 - y)
→ my = M(1 - y)
ここで
m = 10 [kg], M = 60 [kg]
なので
10y = 60(1 - y)
→ 70y = 60
→ y = 6/7 [m]
よって、合計の重心の位置は、はしごの床端から
2 + 6/7 = 20/7 [m]
ということになります。
ここまでは、質問者さんもちゃんとできているようですね。
その床からの高さは
h = (20/7)sin(60°) = (10√3)/7 = 2.47435・・・
≒ 2.5 [m]
>2.46mとなったのですが、違うようです
どう違うのでしょうか?
単なる計算違いか、概算や四捨五入の違いか?
(2) はしごが倒れる、というより「滑り落ちる」ことがないようにするには、壁には摩擦がないので、床の摩擦が決め手になります。
「滑り落ちない」ためには、F1 の大きさが「最大静止摩擦力」より小さいことが必要です。
最大静止摩擦力は、
N1 = mg + Mg
に対して
f = μN1 = μ(m + M)g
です。
人がはしごの最高点まで登ったとき、はしごと壁の交点周りの力のモーメントのつり合いは
・時計回り:mg(L/2)cos(60°) + F1・Lsin(60°) = mgL/4 + [(√3)/2]L・F1
・反時計回り:N1・Lcos(60°) = (mg + Mg)L/2
これらがつり合うので
mgL/4 + [(√3)/2]L・F1 = (mg + Mg)L/2
→ [(√3)/2]F1 = mg/4 + Mg/2
→ F1 = mg/2√3 + Mg/√3
従って、はしごが滑り落ちないためには
F1 = mg/2√3 + Mg/√3 < f = μ(m + M)g
→ m/2√3 + M/√3 < f = μ(m + M)
→ (1/√3 - μ)M < (μ - 1/2√3)m
ここに m = 10 [kg], μ = 0.54 をあてはめると
(0.57735 - 0.54)M < (0.54 - 0.288675) × 10
→ M < 67.289
→ M < 67 [kg]
質問者さんのやり方では
>〈自分が出したモーメントの式〉
>N1Lcos60°+(1/2)cosW1=N1Lcos60°μ
「N1Lcos60°」は「垂直抗力」による反時計回り、「(1/2)cosW1」ははしごの重力のよる時計回り、「N1Lcos60°μ」は「摩擦力」による「時計回り」なので、つり合いの式は
N1Lcos60° = N1Lcos60°μ + (1/2)cosW1
または
N1Lcos60° - (1/2)cosW1 = N1Lcos60°μ
ですね。
そこに、「水平、鉛直方向の力のつり合い」から
N1 = mg + Mg
W1 = mg
として M (>60 [kg]) と m (=10 [kg]) の関係を求めればよいです。
この立式での N1 は、はしごがすべり始めるときの値ということになります。
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