統計力学における平衡状態の定義について

お世話になります。統計力学を勉強中の初学者です。
以下のリンク先に平衡状態の定義の導出が書かれているのですが、少し納得が行きません。
https://whyitsso.net/physics/statistical_mechani …
私の現状の理解と疑問点を書きますので、ご指摘をお願い致します。

リンク先ではエネルギーUに依存して決まる状態数をg(U)と表しています。
2つの別々の系でそれぞれエネルギーu1,u2を持っているものを接触させた際の状態数の取り方が(1)式(g(u1), g(u2)の積についてシグマを取ったもの)になるのは分かります。
そして、平衡状態とは、2つの系それぞれでほぼ同じエネルギーを持つ状態が大多数(=リンク先で説明されているピークに相当)になった状態、と理解しました。

リンク先では、2つの系をくっ付けた後に平衡状態になったかどうかの判断を式(4)を用いて行うそうです。
式(4)ではエネルギーを微小量du1だけ変化させたときの状態数の変化量が0であることが平衡状態の条件と書いていますが、少し納得がいきません。
ピーク以外の領域はほぼ状態数が0なのでdu1動かしたときの状態数の変化量が0になること、ピーク付近でも同じく変化量が0になることはまだ納得できるのですが、ピークとピーク以外の部分の境界ではdu1動かしたときの変化量は0ではないと思います。
この定義の仕方は良いのでしょうか？もしくは私の理解がどこか間違っているのでしょうか？
どなたかご指摘お願い致します。

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/12/30 12:44

>横軸がu1, 縦軸がfのグラフでは、ピークを持つ場所以外もほぼdf/du1=0とみなせる場所は多数あると思います

うーんと、そのあたりの状態がたくさんあるかもしれない、とお考えなのですかね？

物理的にありうる状態(全エネルギーがu)のうち、どういうエネルギーの分配の仕方が大多数なのか、という話を考えようとしている事を忘れてはいけません。

fの値が小さい所でどういう振る舞いをしていようが、それは統計力学の興味の対象ではありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2022/12/31 11:53

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/28 05:16

なるほど、勘違いしました。

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2022/12/27 19:27

大きな誤解をされてそうに見えますが

そもそもg(u)をuの関数として見た時には、現実的でマクロな系を考えている限りはピークをとるような関数ではなく、全エネルギーが増えればより高エネルギーの状態もとれるようになったり、分子が解離するなどミクロな自由度はどんどん増えるので、g(u)は単調に増えていきます。ピークなどありません。
g1(u1)をu1の関数としてみたもの、g2(u2)をu2の関数としてみたものも同様です。


ご質問のリンク先の(2)と(3)の式の意図はよくわかりませんので、ご質問の(4)式の話に絞りますが、
全エネルギーuを固定して、それぞれの系にu1, u2のエネルギーが分配される場合の数f(u1)=g1(u1)g2(u-u1)を考えます。このfが横軸をu1とした時に鋭いピークを持つ関数であり、(4)はこのfが最大になるという条件に対応するものです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
統計力学は勉強したことがないので頓珍漢なことを言っているかもしれません。すみません。

式(4)へのコメント部分ですが、関数fは状態の数を表すため非負であり、df/du1=0となるu1において最大値に相当するピークを持つと理解しました。
重ねて質問ですが、横軸がu1, 縦軸がfのグラフでは、ピークを持つ場所以外もほぼdf/du1=0とみなせる場所は多数あると思います(グラフ内の両端付近で、u1が多少変化したとしてもほぼfの値は変化しない領域)。
そういう箇所とピークの箇所は、df/du1の値だけではなかなか区別できないと思うのですが(特に誤差が大きく出るであろう実際の実験において)、df/du1=0だけを指標とするので良いのでしょうか？

お礼日時：2022/12/29 17:26

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/27 05:44

ピーク以外で pはほとんど0ですが、dp/dn≠0 です。

どれだけ、ほとんど0であつても。極端な図で見ると
そんな気がしますが。


なお、この記述は面白いですね。大変参考になります。温度は
未だに謎です。いままで、どんなに小難しい定義をされても空
しさしかありませんでしたが。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！

お礼日時：2022/12/29 17:26