物理 コンデンサーとジュール熱 この問題の解き方教えてください。答えは④です。

物理 コンデンサーとジュール熱
この問題の解き方教えてください。答えは④です。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/27 11:49

別解

始めの2つのCのエネルギー
　Q²/2C+(3Q)²/2C=5Q²/C・・・①

最後は、2つのCの電圧は同じになるから
　q₁/C=q₂/C → q₁=q₂
電荷保存から
　q₁+q₂=4Q
これらから
　q₁=q₂=2Q
最後の2つのCのエネルギーは
　q₁²/2C+q₂²/2C=2(2Q)²/2C=4Q²/C・・・②

①②の差が、Rで消費されたと考えられるので、それは
　5Q²/C-4Q²/C=Q²/C

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/12/27 11:38

左右のCの電荷をq₁(t), q₂(t)とし、上側の電位を+とする。

流れる
電流を時計回りとする。抵抗をRとする。

初期条件　　q₁(0)=Q , q₂(0)=3Q・・・・・・①
また、電荷保存から　　q₁(t)+q₂(t)=Q+3Q=4Q (一定)・・・②

回路式は　q₁/C=Ri+q₂/C・・・・・・③
　　　　　i=-dq₁/dt=dq₂/dt・・・・・④

t=∞のとき、2つのcの電圧が同じとなり、i=0となる。すると③から
　q₁(∞)/C=0+q₂(∞)/C → q₁(∞)=q₂(∞)・・・・⑤
また、②に入れると
　q₁(∞)=q₂(∞)=2Q・・・・・・⑥

始めの式に両辺に iを掛けて、t=0～∞まで積分すると
　(1/C)∫q₁idt=∫Ri²dt+(1/C)∫q₂dt・・・・⑦

ここで、④を使って、①⑥から
　(1/C)∫q₁idt=(1/C)∫-q₁dq₁/dt dt=-(1/C)[q₁²/2][∞,0]
　　　　=-(1/2C){q₁(∞)²-q₁²(0)}
　　　　=-(1/2C){(2Q)²-Q²}=-3Q²/(2C)
同様に
　(1/C)∫q₁idt=(1/2C){q₂(∞)²-q₂²(0)}=(1/C){(2Q)²-(3Q)²}
　　　　=-5Q²/(2C)

⑦から、Rの消費電力は
　∫Ri²dt=-3Q²/2C-{-5Q²/2C}=Q²/C