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すみません。基本的な有効数字計算の話になりますが、教えてもらえないでしょうか?

とある、ブログからの問題引用になります。(ブログ名は伏せます。)

丁寧な解説で勉強になったサイトだったのですが、一つ疑問に残った問題がありました。

一つ63.8kgの荷物3個分の重さを求める、という簡単な問題なのですが、

この3は、確定した値であり、有効桁無限大と考え、全体の有効桁は63.8の3桁で決まると考えると、積の191.4を3桁で丸めて191になると思うのですが、

解答を見ますと、この3は誤差を含まず、計算結果は191.4で有効数字4桁、とありました。

題意を63.8+63.8+63.8と解釈して、これをまとめて一気に計算して、191.4 これに対して少数第一位までと考えれば、確かにそうなのですが

どう思われますか?


もう一つ質問なのですが、

63.8+63.8+63.8を実行するとき、上ではこれを例えば筆算でも電卓でも丸め処理をしないで、とりあえず小学生計算で3つの和を求めてしまってから、有効桁処理をしましたが

これを(63.8+63.8)を計算して、127.60 末尾の0は途中計算なので一つ多めに取ったもの。
そして、127.60+63.8=191.40
本来、127.60も63.8も小数第一位に不確かさがあるので、第二位を四捨五入して、191.4

結果は同じになるのですが、このような簡単なものでも、途中一つ桁を多く取って計算するべきなのでしょうか?

勉強し直してて、曖昧な理解なことが多くて、少し後悔しています。

誤差論などには踏み込まないレベルの回答でお願いします。

宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • いつもありがとうございます。

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/01/19 00:35
  • うれしい

    大変参考になりました。

    計算の作法として捉えることにします。
    参考リンクありがとうございます。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2023/01/21 03:09

A 回答 (2件)

「有効数字」という考え方自体が、本来きちんと行うべき「誤差評価」の高校生向け簡易版に過ぎません。



お示しの例でいえば

「一つ63.8kgの荷物3個分の重さを求める」

という内容が、

(a) 3つの荷物の重さを個別に測定したら、それぞれが 63.8 kg だった
 (本来それぞれ独立した誤差をもっているが、偶然一致した)

というケースと、

(b) 1つの荷物の重さを測定したら 63.8 kg で、その値を3倍する。

という場合では意味が異なります。

(a) の場合には、それぞれの「63.8 kg」が独立に誤差 ±ε1、±ε2、±ε3 を持つことになります。
その場合には、誤差がランダムに発生するという前提に立てば、統計的に「3つとも測定値からプラス方向に誤差を持つ」あるいは逆に「3つとも測定値からマイナス方向に誤差を持つ」という確率よりも、「プラス方向とマイナス方向にランダムに誤差を持つ」確率の方が高いので、合計の誤差は単純な
 ±(ε1 + ε2 + ε3)
よりも小さくなります。
統計に基づく通常の誤差伝播理論からは、トータルの誤差は
 ±√[(ε1)^2 + (ε2)^2 + (ε3)^2]
となります。

お示しの例題であれば
 (63.8 ± 0.05) + (63.8 ± 0.05) + (63.8 ± 0.05)
= 191.4 ± √[0.05^2 + 0.05^2 + 0.05^2]
= 191.4 ± √0.0075
≒ 191.4 ± 0.0866

(b) の場合には、存在するデータが
 63.8 ± ε
という数値1個であり、これを「3倍」すれば
 (63.8 × 3) ± 3ε
であり、誤差も単純に3倍になります。

お示しの例題であれば
 (63.8 ± 0.05) × 3
= 191.4 ± 0.15

例題のブログがどちらのケースかは分かりませんが、
(a) のケースの真値は 191.4 ± 0.0866 あたりにある
 この「± 0.0866」は「標準偏差」に相当します。

(b) のケースの真値は 191.4 ± 0.15 あたりにある

ということで、
 191.3~191.5 あるいは 191.05~191.55
程度の変動がありそうなので、「191.4」の最終桁「0.4」の信頼性は低そうです。
では「191」といった方がより正しいのか? というとそうでもなさそうです。むしろ「191.4」というよりも真値からかけ離れることになりそうです。
なので「どちらがより正しいのか」という議論自体、無意味な話です。

上記のように、本来の「誤差」は「どのような演算を行っているのか」の中身にまで立ち入って評価する必要があります。
単純に「与えられた数値の演算」で、それが実際にはどのようなことをしているのかが分からなければ、その誤差評価の妥当性を検証しようがありません。


>結果は同じになるのですが、このような簡単なものでも、途中一つ桁を多く取って計算するべきなのでしょうか?

いいえ。本来そんな精度がない(誤差がもっと大きい)のに、ダミーで桁を追加しても何の意味もありません。

高校生の扱う「有効数字」は、与えられた数字で途中で丸めずに最後まで計算し(途中で割り切れない数値が出たとき、あるいは無意味に桁数が多くなったときに、有効桁数より1~2桁多い数値に丸めて計算を続ける)、最終計算結果のところで適当な桁数の一つ下を四捨五入して丸めるのがお作法かと思います。

あまり深く考えても、特に学術的な厳密さなどないので、そのようなお作法で「機械的に」処理すればよい話かと思います。
下記のようなサイトを参照にしてください。
(「ここで説明するのは高校までに習う暫定的な簡易ルール。大学生以上は使用禁止?!」と書かれています)

https://eman-physics.net/math/figures.html
この回答への補足あり
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有効数字ルールによる計算は、誤差を実際より小さく見積もるし、


計算式を等式変形すると誤差が変わります。
誤差評価の方法としては論外な代物なので、
あまり真面目に考えても得るものはありません。
この回答への補足あり
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