ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか。

ある無理数には、それに近い有理数をどこまでも作ることができます。例えば作り方のひとつを言います。
nは自然数だとして、n桁が無理数πと一致するような関数をf(n)とします。f(n)は絶対に有理数です。この関数は、
f(1)=3
f(2)=3.1
f(3)=3.14
のようになります。
すると、
lim(n→∞)f(n)=πですよね。

他にも無理数に近い有理数の作り方はあると思います。そういうので、どんどん無理数に接近するように有理数を作っていくとします。

で、最初の質問に戻ります。

「ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか」

もしも、これの答えが無理数だとすると、対称の数は有理数だという前提と矛盾します。答えが有理数だとするとlimの式が間違っていることになります

どうしたらいいのですか。

質問者からの補足コメント

• ＞なぜ？
  
  質問文の書き方を間違ってしまいました。訂正します。
  
  誤(訂正前)
  「答えが無理数だとすると、対称の数は有理数だという前提と矛盾します。答えが有理数だとするとlimの式が間違っていることになります」
  
  ↓
  
  答えが無理数だとすると、対称の数は有理数だという前提と矛盾します。(以下、カット)

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/31 12:28

No.13 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/05 20:28

nは自然数だとして、n桁が無理数πと一致するような関数をf(n)とする

f(1)=3 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
f(2)=3.1 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
f(3)=3.14 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
f(4)=3.141 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
f(5)=3.1415 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
f(6)=3.14159 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
f(7)=3.141592 は無理数πに限りなく近い有理数ではない(もっと近い有理数があるから)
…
だから
無理数πに限りなく近い有理数は存在しない

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/05 04:42

ある無理数

r
に限りなく近い
実数
a
は
無理数
r
自身で
r=a
以外にはあり得ないという事
だから
ある無理数
r
に限りなく近い有理数
a
は存在しません

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2023/02/06 14:38

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/05 04:26

ある無理数

r
に限りなく近い有理数
a
が存在すると仮定すると
aは有理数の定数であって変数ではありません
aは
|r-a|→0と変化する事はありません
1/|r-a|→∞と変化する事はありません
1/|r-a|<n
の左辺→∞となる事もありません

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/04 21:55

ある無理数

r
に限りなく近い有理数
a
が存在すると仮定すると
無理数と有理数は等しくないから
r≠a
だから
r<aまたはa<r
0<|r-a|だから
実数1/|r-a|がある
1/|r-a|<n となる自然数nがある
↓両辺に|r-a|/nをかけると
1/n<|r-a|

r>aのとき
1/n<r-a
a<a+1/n<r
b=a+1/nとするとbは有理数だから
a<b<rとなる有理数bがある
|b-r|=|a+1/n-r|=r-a-1/n<|r-a|

r<aのとき
1/n<a-r
r<a-1/n<a
b=a-1/nとするとbは有理数だから
r<b<aとなる有理数bがある
|b-r|=|a-1/n-r|=a-r-1/n<|r-a|

|b-r|<|a-r|
となって
bはaよりもrに近いから
a
が
r
に限りなく近い有理数
である事に矛盾するから

ある無理数に限りなく近い有理数は存在しない

この回答へのお礼

|r-a|→0だから
1/|r-a|→∞

1/|r-a|＜n
左辺→∞
というnは定義できないのではないですか。

お礼日時：2023/02/04 22:11

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/03 21:49

ある無理数

r
に限りなく近い有理数
a
が存在すると仮定すると
a<b<r,またはr<b<a
となる有理数
b
があり
|b-r|<|a-r|
となって
bはaよりもrに近いから
a
が
r
に限りなく近い有理数
である事に矛盾するから

ある無理数に限りなく近い有理数は存在しない

この回答へのお礼

＞ある無理数rに限りなく近い有理数aが存在すると仮定するとa＜b＜r,またはr＜b＜aとなる有理数bがあり

どうしてですか。

お礼日時：2023/02/04 21:26

No.8 回答者： usa3usa 回答日時： 2023/02/01 17:56

No2です

以下の問題の回答を考えてみたらいかが？
かけっこをしているA君はB君に遅れて走っていて、C地点で追いつきました。

「A君はB君に負けている」　→　有理数
「A君はB君に負けていない」　→　無理数
「C地点で追いく直前のA君」　→　「ある無理数に限りなく近い有理数」
と言い換えて、貴方の質問に相当する
「C地点で追いく直前のA君は　「B君に負けていない」ですか、「B君に負けている」ですか」
の回答を考えてみてください。

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/31 16:11

厳密にいえば「限りなく近い」の定義を与えない限り話にならんのではないかな.

あるいは「『ある無理数に限りなく近い有理数』が存在するなら有理数」とでもいっておくかな.

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/31 14:39

大昔にやったのを思い出した。

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/32339.html

お書きのf(1),f(2),...はそれぞれ有理数です。そして、「f(1),f(2),...の無限列全体」こそが無理数の実体なんです。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/31 13:38

この際、「ある無理数に限りなく近い」のことは忘れてみましょう。

「〇〇な有理数は無理数ですか、有理数ですか」 →有理数に決まってますよね。
有理数列の極限が無理数になる場合でも、各項はあくまで有理数です。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/31 13:17

＞ある無理数に限りなく近い有理数は無理数ですか、有理数ですか

「ある無理数に限りなく近い有理数」は 有理数です。
でも その有理数は 初めの無理数とは 異なる数字です。
尚、質問に有る lim の式は、lim(n→∞)f(n)=π ではなく、
強いて言えば lim(n→∞)f(n)≒π となります。＝ には なりません。

例えば、円周率は 無理数です。
従って ギリシャ文字の π(ﾊﾟｲ) で表します。
これを 小数点以下2桁で 区切れば 3.14 で 有理数です。
小数点以下20桁で 区切れば 3.14159265358979323846 で 有理数です。
つまり 便宜上 概数として有理数で 表しているだけで、
厳密には 円周率ではありません。