数学の高次式を因数で割るという方法がありますが、なぜ割ってよいのでしょうか？ 例えば解の一つがx＝1

数学の高次式を因数で割るという方法がありますが、なぜ割ってよいのでしょうか？

例えば解の一つがx＝1だとするとその式はx-1を因数にもちますが、x=1よりx-1=0なので、その式をx-1で割るとすると0で割ることと同義であり、数学のルールに反するように思います。

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/04 21:07

共通因子が出てくるように 変形するので、

0 で割っている訳では無いです。
計算技術上 割っているように見えるだけです。
x²-4x+3=x²-x-3x+3=(x²-x)-(3x-3)=x(x-1)-3(x-1)=(x-1)(x-3) 。
計算するには x²-4x+3 を x-1 で割ると、商が x-3 で 余りが 0 ですが、
この計算で x=1 という 代入の計算は 出てきません。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/04 19:17

例えば、多項式 x^2+x-2 は多項式 x-1 で割り切れますが、

x^2+x-2 を x-1 で割る計算は
x^2+x-2 の x に何かを代入したときの値を
x-1 の x に何かを代入したときの値で割っているわけではありません。
多項式を多項式で割っているんです。

割り算は掛け算の逆演算ですから、
x^2+x-2 = (x-1) Q(x) が成り立つ多項式 Q(x) が、
x^2+x-2 を x-1 で割った商です。
x^2+x-2 = (x-1)(x+2) が任意の x で成り立つので、
x^2+x-2 を x-1 で割った商は x+2 です。
この理屈に、x = 1 を代入する話は出てきません。

多項式と多項式の掛け算割り算でも、0 で割ることはできません。
x^2+x-2 を定数式 0 で割った商は定義されません。
定数式 0 が、多項式としての 0 なのです。
x-1 は、x の値によっては 0 以外の値になりますから、多項式 0 ではありません。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/04 16:32

実際に割り算してる訳じゃ無いでしょ？

=0の方程式の両辺を割ってる訳じゃ無く、単なる高次式を因数の積にする為にやってるダケですよ。

x³-1=0を解く時、
x³-1の「多項式」をもっと次数の低い多項式の積に直す事を行なってるだけです。
xに1を代入すると、x³-1の「多項式」の値が0になるから、x³-1は(x-1)の因数を持ってる、とやってるだけです。

x³-1＝０の両辺を(x-1)で割ってる事はやってませんよ。
x³-1と言う多項式の因数を見つける為の裏操作ですよ。

多項式と方程式をごちゃ混ぜにしてますね。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/04 16:31

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

x≠1のとき
(x^2-3x+2)/(x-1)=x-2
と
割ってよいけれども

x=1のとき(x^2-3x+2)を(x-1)で割ってはいけない

No.1 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/04/04 16:27

例えば、x2 - 4x +3 = 0を考えた時、因数分解すると

(x-1)(x-3)=0　より　x = 1、3が解となります。

ご質問のように、上記の2次式をx-1で除した場合、得られるのはx-3=0であり、x=3の状態のため、ゼロで除したことにはならないのです。