∫sin^2(x)dx の積分計算をしたいのですが、半角(2倍角)の公式を使わずに、という制限つきでした。
t=tan(x) とおいて、sin^2(x)=t^2/(1+t^2)
dx=dt/(1+t^2) という形にして解こうと思ったのですが、∫(t^2/(1+t^2)^2)dt となってっしまい解けませんでした。他にも sin^2(x)を(√1-cos^2(x))*sin(x)
として、cos(x)で置換積分を試みましたが、
√(1-t^2)がでてくるため無理でした。どうすればうまくいきますか?
ちなみに必要かどうかはわかりませんが、積分区間は
0→2π でした。
No.1
- 回答日時:
以下、積分区間を省略して書くと、
∫sin^2(x)dx = ∫(1-cos^2(x))dx
=2π - ∫cos^2(x)dx
sin^2(x), cos^2(x)のグラフはともに周期2πで、
位相をπ/2ずらすと同じ形になるので、
∫sin^2(x)dx =∫cos^2(x)dx
よって、2∫sin^2(x)dx = 2π となるから
∫sin^2(x)dx = π
早々にお答えいただき、ありがとうございます。
∫sin^2(x)dx =∫cos^2(x)dx
という考え方が出ませんでした。
そういえばそうでしたね。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
不定積分の形で書きますが、最初から定積分としても同様です。
部分積分により
∫sin^2(x)dx = -sin(x) cos(x) + ∫cos^2(x)dx
= -sin(x) cos(x) + ∫(1 - sin^2(x))dx
ゆえに
2∫sin^2(x)dx = -sin(x) cos(x) + ∫1 dx
∫sin^2(x)dx = -sin(x) cos(x)/2 + x/2 + C
ここから0→2πの定積分を求めるのは容易です。
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