写真の数学の問題です。 三次方程式の不等式ってどうやって解けばよいのでしょうか？ -1<t<0,3<

写真の数学の問題です。
三次方程式の不等式ってどうやって解けばよいのでしょうか？
-1<t<0,3<tの分け方はどうやって判断すれば良いですか？

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/29 10:38

ｔ(t+1)(t-3) > 0.

左辺の各因子の正負で場合分けするが、
常に t-3 < t < t+1 が成立するため

(±)×(±)×(±) の 2^3 通りではなく
0 < t-3 < t < t+1,
t-3 < 0 < t < t+1,
t-3 < t < 0 < t+1,
t-3 < t < t+1 < 0
の 4 通りしかない。

このうち
0 < t-3 < t < t+1,　←[1]
t-3 < t < 0 < t+1　←[2]
では、負の因子が偶数個だから
ｔ(t+1)(t-3) > 0.

t-3 < 0 < t < t+1,
t-3 < t < t+1 < 0
では、負の因子が奇数個だから
ｔ(t+1)(t-3) < 0.

[1] を変形して、 0 < t-3 より 3 < t,
[2] を変形して、 t < 0 < t+1 より -1 < t < 0.

...なんてことが、
y = x(x+1)(x-3) のグラフを見ると
考えなくても一瞬で解る。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/28 21:27

t(t+1)(t-3)>0

t(t+1)(t-3)=0の解はt=-1,0,3

t<-1のとき　
t<0
t+1<0
t-3<0
だから
t(t+1)(t-3)<0

-1<t<0のとき…(1)
t<0
0<t+1
t-3<0
だから
t(t+1)(t-3)>0

0<t<3のとき
0<t
0<t+1
t-3<0
だから
t(t+1)(t-3)<0

3<tのとき…(2)
0<t
0<t+1
0<t-3
だから
t(t+1)(t-3)>0
--------------
(1),(2)から

-1<t<0　または　3<t

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/28 15:29

右の欄にあるように、グラフを描いて「○○よりも上」とか「△△よりも下」の範囲を求めればよいです。

因数分解できるのなら、「正と負の組合せ」の条件を解けばよいです。
(x - A)(x - B)(x - C) >0 なら
・3つとも正、or 1つが正で他の2つが負
(x - A)(x - B)(x - C) <0 なら
・3つとも負、or 1つが負で他の2つが正

基本は「二次不等式」と同じでしょう。