これは私の実生活から興味が出た疑問です。ある長さの均一な質量のはしごの上に軽い人が乗っていて、ほぼ垂直に立てかけてある。地震で傾き始め、90度回転して人が地上に落ちた。そのときの速度を求めます。はしごの長さは計算がしやすく、答えが整数に近い、5メートル前後を入れてください。なお私は、はしごが軽い場合は、はしごなしに鉛直に落ちる早さだと知っています。なお、はしごの長さ、はしごと人の重さの比などで簡単にもとめられたらそれも教えてください。

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A 回答 (10件)

 


 
 あー、すみません、
(チェックしたら大きな√の式までは合ってました。)

人間が乗ってない m=0 の場合は 分数が 3/2 になって
  V = √(2gL)・√1.5 = 人間の自由落下の 1.23倍

人間60kgはしご10kg なら分数は (60+10/2)/(60+10/3)=1.0263 になって
  V = √(2gL)・√(1.0263) = 人間の自由落下の 1.013倍 = 1%増し。

でした。


 この式も右辺に L が抜けてました。
  E = g(m+M)X = g(m+M/2)L

 どうも失礼しました。
 
 

この回答への補足

私の直感がはしごだけなら先端が自由落下より早いというイメージがわいてきました。早くはしごから手を離すほうが少しでも怪我が少ないという様に思えてきました。5日ほど前までははしごは回転するから先端は遅くなると思ってました。

補足日時:2005/04/24 22:11
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この回答へのお礼

はしごだけで考えて、摩擦のない地表に立っていた場合など考えると、面白さが尽きなくなったが、表現が難しいし一休みする。ありがとう。

お礼日時:2005/05/02 00:08

 


 
 余談; 倒れるまでの時間

 垂直な棒が傾き始める当初、運動は横向きですから、重力のそっち向き成分は とても小さく、初期加速はとても小さい。 最初が完全に垂直なら 無限大の時間がかかります。(ホウキを逆さに指に立てる遊びですね。)

 はしごのような長さLの棒の慣性モーメントは、回転中心が重心なら (1/12)ML^2、端なら それ+M(L/2)^2=(1/3)ML^2 です。これを I と書きます。

回転運動の運動方程式は、
  T+I(d2θ/dθ2) = 0  Tはトルク、シータは回転角度
θを真下から測ると、重力の回転方向成分は Mgsinθ です(*)。
トルクは 腕の長さ×力 だから、
  (L/2)Mg sinθ+I(d2θ/dθ2) = 0
で、LもMもgもIも みんな定数だから、まとめて整理したものを A と書きます。

  (d2θ/dθ2)+Asinθ = 0

これは振幅θがとても小さいときは sinθ≒θ として解けますが、真上≒180度=π と大きな場合は残念ですが解けません。普通は数値計算です。(古い数学の本なら後ろに「楕円積分の数表」が載っていますね。)

(*):sinθ≦1だから、1より小さいものが掛かるくらいなら、真っ直ぐ自由落下したほうが早そうだと想像がつきますね。



一番下に角度と共に急増する図があります。垂直なら無限大です。
http://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/gakusyu/rikiga …

4ページ。「数値計算しなさい」と課題にされてます。
http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda/TeX/PD …

 
 
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この回答へのお礼

だんだん自分のものになり、リアルに想像できたきた。倒れるのに気づいたら、大急ぎで、はしごを降りることだな。

お礼日時:2005/05/02 00:11

 


 
1.
 高さL(はしご先端)から自由落下での着地速度 v は
  v = √(2gL)



2.
 はしご(質量M)と先端の人(質量m)が 一体で横転;

            一体の重心
          M   ↓    m
下端━━━━━●━━━━━● 先端
   ├─L/2─→
   ├──── X ─→
   ├───── 全長 L ─→

重心位置 X は、重心のまわりの(質量×距離)の合計=0より、
  M(L/2-X)+m(L-X) = 0
より、
  X = L(m+M/2)/(m+M)


 高さ X 質量 m+M の位置エネルギは
  E = g(m+M)X = g(m+M/2)


 一体となった状態の 慣性モーメント I は

  I = (はしご重心まわりのI)+(下端を支点とした質点MのI)+(下端を支点とした質点mのI)

です。(これの説明は省きますが必要なら補足請求してください。)

  I = (1/12)ML^2+M(L/2)^2+mL^2
   = (m+M/3)L^2


 回転運動のエネルギー E=(1/2)Iω^2 よりω= √(2E/I)、はしご先端の速度 V は
  V =ωL = L√(2E/I)
   = L√( 2g(m+M/2)L /((m+M/3)L^2) )
       _______
      /    m+M/2
   = / 2gL ────
     V     m+M/3

試算;
はしごが超軽ければ V = √(2gL) = 自由落下の式と同じ。
人間が乗ってなければ V = √(gL/3) = 自由落下の0.82倍
人間60kgはしご10kg なら V = 自由落下の1%増し。
 
 

この回答への補足

わかりやすく表現していただいた式をありがとうございます。(私には難しいですが)疑問。あなたの間違いでないかと思うのですが、最後の行は1と0.8の間にならないのですか。また、大きなルートの中は、M/2割るM/3は1より大きくなりどこか間違えているように思います。よろしくお願いします。

補足日時:2005/04/24 09:19
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この回答へのお礼

この一連の回答を受けて、はしごの先端の地上付近での落下は、自由落下より早いと納得した。これは驚きであった。

お礼日時:2005/05/02 00:13

やっと自分の中で解決しました!



No.3の方の式の中で、はしごの運動エネルギーが1/6mv^2であるという
部分だけ、「そういう公式があるんだろうなあ」というふうに思考を
飛ばしていたのですが、棒を微小単位に分割して足し合わせて
極限を取って、自力で1/6mv^2という数字が導き出せました。
(物理は高校までの分しか覚えていなかったので・・・)

質量が均一に分布している棒だとこういう式になるみたいです。

この慣性モーメントの部分だけ大学レベルで、そのほかは中学レベルの
知識で理解できると思います。

ちなみにこれはもちろんはしごの先端と人が一体化しているという
前提の話ですね。

> 単純落下は、v=2gLでしたね。

と言われていますが、単純落下もv=√2gLですよ♪
(1/2Mv^2=MgLを解くとそうなります。)

この回答への補足

うっかりしてた。左辺がv^2であることを忘れてた。やはりはしごが十分に軽いと単純落下と同じスピードになるのですね。そうかな。別件、何かの本で回転の慣性が色々な形についてのっていたように思うが使い方がわからなくて。自動車でアルミホイルの方が回転させる慣性が少ないから加速がいいとかいってたが、タイヤに比べて軽いからどうてことないと思ってた。窒素充填タイヤは効果があるのかなあ。ともあれ自分で算出できておめでとう。)話を戻して、地上で同じスピードならはしごにつかまって真下に落ちるのと、はしごから離れて左下方向に落ちるのと。方向が違っても速度が同じのかなあ。はしごは人の自由落下より速くなろうとしても、人を中心へ(右)引っ張るためにエネルギーを使ってはしごが遅くなり、と書いても、軽いはしごには人を引っ張るエネルギーがない。ああ、大地に固定されてるところがはしごを使って人を引っ張るのだ。軽いはしごの大地側がしかkり固定されてなく、人がはしごにつかまっていると、水平近くになると、はしごの根元が原点を離れて左へよるのだな。文章ではよみにくいでしょうから、この分で気になるところがあればお返事下さい。しかしこのことについてはしばらく休んで考えようと思ってますが、一応面白いですね。

補足日時:2005/04/23 19:13
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なるほど、はじめは、人も横に動かねばならないから、なかなか落ちられないわけですね。

はしごが左へ倒れていくとすると、途中からはしごはグット下に向かい、人は左へ行く慣性で、はしごの先端より左へ行くから人より、より速く下へはしごが行き、両者は離れてしまうという解釈でよろしいでしょうか。:

とにかく人間がはしごをしっかり捕まえていて人とはしごが一体化しているときにはすごく単純でNo.1のやり方で求めれば決着です

はしごに人が乗っかっていて摩擦ではしごが水平方向にははしごからずれない場合であっても途中からはしごの下向きへの加速度が人の下向きへの加速度を上回ってしまいはしごが人を空中に置き去りにして先に地面に落ちるのです

はしごに人が乗っかっていてはしごと人の間に摩擦が全くないときにははしごは勝手に回転運動で倒れ人は直下に自由落下するだけです
この場合両者は独立に運動します

この回答への補足

怪我を最小にするには、はしごにつかまっててはだめなんですね。はしごが人から離れ始めたときに、はしごをけってすこしでも落下の速度を減らせばいいわけですね。念のため再度ご回答を下さい。いや、できるだけ速くはしごを一歩一歩下るのがよいのかな。人は普通はしごのてっぺんに乗ってないですね。ここらも加味してあなたのかんがえを聞かせてください。

補足日時:2005/04/23 19:06
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No.3の方がちゃんと計算されているので、私のやり方と同じに


なるかなあと答え合わせをやってみたら、合わないですね><

どこにまやかしがあるのか考えてみたのですが、

> ↑これが、地上位置での重心のスピードになるはず。

この部分みたいです。

位置エネルギーが運動エネルギーに変換されているわけですが、
そのすべてが重心移動の運動エネルギーとして表現できるという
前提がどうもちがうみたいです。

例えば重心を中心に高速回転するはしごがあった場合、重心位置の
速度は0なのに、はしごとしての運動エネルギーはかなりあるという
状態にもなりますもんね。

回転がからむと、運動を単純に重心で代表させるというのはできない
みたいですね。残念!

No.3の方の式だと、はしごの運動エネルギーは
1/6mv^2
となっているのですが、はしごが重心1点に質量が集中していると考えると
1/8mv^2(速度がv/2なので)
になるので、この差がはしごを点と見るか棒と見るかのちがいに
なっていると思うのですが、これだけ違いがあれば、人も点として
扱うとけっこう誤差が出てきそうですね。

こういうの考えるのって楽しいですね♪

この回答への補足

私も2番は間違いと思ったのです。2番は土地が急陥没して瞬間に土地がなくなったとき、重心の位置が陥没前の位置まで落ちるときの時間と単純な速度を元に相似の比を掛けて、はしごの先端の早さに換算したにすぎないと思います。かといって、正しい答えを自分で出したり、ほかの人のを納得したりする、自信はまだありません。

補足日時:2005/04/23 12:23
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人がはしごを持っていて人とはしごが離れない場合重心の運動(回転運動)だけを考えればいいので単純です


No.2のいっているようにその運動を相似倍すればいいのです
人がはしごに乗っていて水平方向には摩擦で人とはしごが離れないとした場合には途中ではしごの先の加速度が人の落ちる加速度を上回り両者が離れはしごが先に落ちます

この回答への補足

なるほど、はじめは、人も横に動かねばならないから、なかなか落ちられないわけですね。はしごが左へ倒れていくとすると、途中からはしごはグット下に向かい、人は左へ行く慣性で、はしごの先端より左へ行くから人より、より速く下へはしごが行き、両者は離れてしまうという解釈でよろしいでしょうか。

補足日時:2005/04/23 12:39
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人とはしごの質量の比により結果は変わります。



人の質量をM, はしごの質量をm、はしごの長さをLとして、地上に落ちた際の人とはしごの持つ運動エネルギーKを求めると、その際の速度vを用いて

  K=1/2Mv^2+1/6mv^2

となります(はしごは地面を中心として、角速度ω=v/Lで回転するので、地面を中心としたはしごの慣性モーメントI=1/3mL^2から1/2Iω^2=1/6mv^2の運動エネルギーを持ちます)。

倒れる前の位置エネルギーUは、U=MgL+mgL/2 ですので、エネルギー保存の U=K から、vは

  v=(3gL(2M+m)/(3M+m))^(1/2)

と求まります。ここで、はしごと人の質量の比をx=m/Mと置けば、

  v=(3gL(2+x)/(3+x))^(1/2)

ですので、人がはしごと比べて軽い場合、x→∞として、v=(3gL)^(1/2) となり、はしごが人と比べて軽い場合は x→0 から v=(2gL)^(1/2) となります。

この回答への補足

ありがとうございます何回も読んでますが、現在理解できたません。維持でも理解しようと努力しています。あしからず。

補足日時:2005/04/23 12:36
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この回答へのお礼

お礼の場所ですみません。この疑問はチャチな時計塔をはしごで修理しようかやめとこかの時に沸きました。結局業者に頼みました。ところで、単純落下は、v=2gLでしたね。この条件の落下はv=√2gLになり、まともに落ちるよりは衝撃が少ないということですね。(はしごは軽いものだから)そしてはしごが重くなるほうが、それより少し危険が増すということねすね。この解釈でよろしいか、もう一度回答を頂きたく存じます。

お礼日時:2005/04/23 13:06

はしごと人をあわせた物体が「立っている」ときの位置エネルギーと、


「倒れている」ときの位置エネルギーの差が、運動エネルギーに変換
されていると考えればよいのではないでしょうか?

★「はしごと人をあわせた物体」の重心の位置を求める。
(はしごの中心と先端を、はしごと人の質量比で比例配分した位置ぐらい。)

★その重心の高さから地上まで鉛直落下したスピードを計算する。
↑これが、地上位置での重心のスピードになるはず。

★重心位置でのスピードに相似比をかけて、はしごの先端のスピードを出す。

これでどうでしょう?

この回答への補足

ただいまうなって考えております。難しいけど面白いですね。あってるような間違ってるような。夜8時

補足日時:2005/04/22 20:22
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はしごなしで鉛直に落ちた場合と速度は同じですよ。


力学的エネルギー保存の法則
mgh+1/2mv^2=一定(m:質量、g:重力加速度、h:(ある基準点からの)高さ、v:速度)
ですので、垂直に立っているときはv=0ですので、
(1)mgh+0=一定
落下したときの地面を基準点とすればh=0ですので、
(2)0+1/2mv^2=一定
(1)(2)より速度vを求めれば…。

この回答への補足

ありがとうございます、私は3日ほど前まで、同じと思ってました。しかし、重量のあるはしごを回転(平行移動でなく)させるエネルギーが必要と気がつきました。はしごが体重より十分軽いと、無視できましょう。重いはしごだと少し遅くなるはずです。

補足日時:2005/04/22 11:36
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ある番組でやっていた問題なのですが、

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答えは、重りがついていない棒なのですが、その解説が分かりませんでした。
記憶では、重心が上にあるから、とか慣性モーメントが重りがついているほうが大きい、など
少々曖昧な解説で終わっており、それから未だ疑問に思っております。重りがついていることで、慣性モーメントは大きくなりますが、その分大きな重力が働くため、大きなトルクを得ることができるはずですが、どうでしょうか。どうか解説頂けますと幸いです。

宜しくお願いします。

Aベストアンサー

考えてみたらそう難しくはなかったです。

剛体の慣性モーメント I0 (回転中心まわり)
剛体の質量 M
剛体の重心の高さ H

おもりは質点とみなせるとし、

重りの質量 m
重りの高さ L

最初の状態で、回転の中心、剛体の重心、重りが同一の鉛直線上にあるとする。

慣性モーメント I = I0 + mL^2

剛体が鉛直方向から角θ傾いたとするとエネルギー保存則は、
床の上を位置エネルギーの原点として

(1/2) (I0 + mL^2) ω^2 + MgHcosθ+mgLcosθ = MgH + mgL
(1/2) (I0 + mL^2) ω^2 = (MH + mL)g(1-cosθ)

これから

ω^2 = 2(MH + mL)g(1-cosθ) / (I0 + mL^2)
= [2MHg(1-cosθ) / I0 ] (1 + mL/MH)/ (1 + mL^2/I0)
= ω0^2 (1 + mL/MH)/ (1 + mL^2/I0)

ω0は重りがないとき(m=0)の角速度で、ω>ω0とすると

(1 + mL/MH)/ (1 + mL^2/I0) > 1

これから

I0 > MHL

を満足すれば重りをつけたほうが付けない場合よりもθによらず角速度が大きくなるので速く倒れることがわかります。

重心まわりの慣性モーメントがαMH^2と書けるタイプの剛体なら

I0 = αMH^2+MH^2 =(α+1)MH^2

なので

(α+1)H > L

が重りをつけたほうが速く倒れる条件です。

剛体棒の場合は重心まわりの慣性モーメントが(1/3)MH^2なのでα+1=4/3で

(4/3)H > L

を満たせば重りをつけたほうが速く倒れます。

ご質問の場合は重りを棒の上端につけているのでL = 2Hでこの条件を満たさず、重りをつけないほうが速く倒れます。

考えてみたらそう難しくはなかったです。

剛体の慣性モーメント I0 (回転中心まわり)
剛体の質量 M
剛体の重心の高さ H

おもりは質点とみなせるとし、

重りの質量 m
重りの高さ L

最初の状態で、回転の中心、剛体の重心、重りが同一の鉛直線上にあるとする。

慣性モーメント I = I0 + mL^2

剛体が鉛直方向から角θ傾いたとするとエネルギー保存則は、
床の上を位置エネルギーの原点として

(1/2) (I0 + mL^2) ω^2 + MgHcosθ+mgLcosθ = MgH + mgL
(1/2) (I0 + mL^2) ω^2 = (MH + mL)g(1-cosθ)

これから

ω...続きを読む

Q剛体の運動の問題

以下の問題について、その下の解答のどこが間違っているのでしょうか?

問題
なめらかな水平面上に長さLの一様な棒を鉛直に立て、手を離すと棒は倒れる。この途中、棒が鉛直線となす角がθのとき、棒の回転速度(θ・)を求めよ。

解答
棒の質量をM、棒の重心の周りの慣性モーメントをI、棒の端(床にくっついているほう)の周りの慣性モーメントをI'とする。

dI=(xの二乗)ρdx、ρ=M/Lより
I=∫(-ρ/2からρ/2まで)(xの二乗)M/Ldx=M(Lの二乗)/12
I'=∫(からρまで)(xの二乗)M/Ldx=M(Lの二乗)/3

棒が床から受ける垂直抗力をN、棒の重心の周りの角速度をωとすると棒の棒と床との接点の周りの角速度もωになる。

重心の周りの力のモーメントの方程式
I(ω・)=-N(L/2)cosθ

棒と床との接点の周りの力のモーメントの方程式
I'(ω・)=-Mg(L/2)cosθ

これらから不要な文字を消去して
(θ・・)=-(3g/2L)cosθ
(θ・・)(θ・)=-(3g/2L)(θ・)cosθ
時間で積分して
(θ・)の二乗/2=-(3g/2L)sinθ+C
θ=π/2のとき(θ・)=0だからC=3g/2Lなので
(θ・)=√{(3g/L)(1-sinθ)}

以下の問題について、その下の解答のどこが間違っているのでしょうか?

問題
なめらかな水平面上に長さLの一様な棒を鉛直に立て、手を離すと棒は倒れる。この途中、棒が鉛直線となす角がθのとき、棒の回転速度(θ・)を求めよ。

解答
棒の質量をM、棒の重心の周りの慣性モーメントをI、棒の端(床にくっついているほう)の周りの慣性モーメントをI'とする。

dI=(xの二乗)ρdx、ρ=M/Lより
I=∫(-ρ/2からρ/2まで)(xの二乗)M/Ldx=M(Lの二乗)/12
I'=∫(からρまで)(xの二乗)M/Ldx=M(Lの二乗)/3

棒が床...続きを読む

Aベストアンサー

重心以外を基準点に取った時には、運動の分離が出来ません。
回転だけではなく並進も分離できないのですが、ここでは回転だけにします。

剛体を質点系とみなし、棒の下端の位置ベクトルをR、
棒の下端からみた剛体内の質点の位置ベクトルをri(内部座標)とすると、
空間のどこかに固定された原点から見た質点の位置ベクトルはR+ri。

内力をfij, 外力をFi,'を時間微分として

質点の角運動量は li = mi (R+ri)×(R'+ri') = mi R×R' + (mi ri) ×R' + R×(mi ri') + ri×(mi ri')
トルクは Ni = (R+ri)×(Σfij + Fi) = R×(Σfij)+ri×(Σfij)+R×Fi + ri×Fi
回転の運動方程式は dli/dt = Ni

総和をとると

Σli = (Σmi) R×R' + + (Σ mi ri) ×R' + R×(Σ mi ri') + Σ ri×(mi ri)

ここでΣmiは剛体の質量M、(Σ mi ri) は重心の定義から、棒の下端から見た重心の位置ベクトルをrgとしてM rg。最後の項は棒の下端から見た剛体の角運動量でIω。これを代入して

Σli = R×(MR') + M rg×R' + M R×rg' + Iω

基準点を重心に選んでおけばrgはいつもゼロベクトルで第二項、第三項が消えてくれましたが、重心以外が基準点では消えません。

トルクのほうは総和を取ることでふつうに内力は消えてくれるので、

ΣNi = (R+ri)×(Σfij + Fi) = R×(ΣFi) + Σ(ri×Fi)

したがって運動方程式d(Σli)/dt = ΣNiは

d/dt[ R×(MR') + M rg×R' + M R×rg' + Iω ] = R×(ΣFi) + Σ(ri×Fi) (*)

重心を基準に選んでおけば

d/dt[ Rg×(MRg') + Iω ] = Rg×(ΣFi) + Σ(ri×Fi)

からRgのみに依存する項と内部座標のみに依存する項を分離して

d/dt[ Rg×(MRg')] = Rg×(ΣFi)、 d/dt[ I'ω ] = I' dω/dt = Σ(ri×Fi)

となり、重心の運動と重心まわりの回転運動を別々に扱えますが、基準点が重心でない場合にはM rg×R' と M R×rg'という基準点の座標と内部座標がからんだ項が残っていますので、分離が出来ません。
(*)の式のまま解くしかないということです。

基準点が固定点ならば、基準点を原点に選ぶ事でR=0になりますから、(*)式のR×(MR')、M rg×R'、M R×rg'、R×(ΣFi) が全部消えて、

d/dt[ Iω ] = I dω/dt = Σ(ri×Fi)

として解くことができます。

重心以外を基準点に取った時には、運動の分離が出来ません。
回転だけではなく並進も分離できないのですが、ここでは回転だけにします。

剛体を質点系とみなし、棒の下端の位置ベクトルをR、
棒の下端からみた剛体内の質点の位置ベクトルをri(内部座標)とすると、
空間のどこかに固定された原点から見た質点の位置ベクトルはR+ri。

内力をfij, 外力をFi,'を時間微分として

質点の角運動量は li = mi (R+ri)×(R'+ri') = mi R×R' + (mi ri) ×R' + R×(mi ri') + ri×(mi ri')
トルクは Ni = (R+ri)×(Σfij + Fi) = ...続きを読む

Q針が倒れる時間

高校か大学の物理で、針を机の上に垂直に立てて手を離してから倒れ終わるまでの時間を求める式を習ったような気がするのですが、何だったでしょうか。
昔のことなので、とっくに教科書や参考書を処分してしまい、何の分野だったかも忘れてしまいました。
今、学生あるいは先生で詳しい方、教えて頂けませんか。
当時、一生懸命に勉強したことでも、社会人になって使わなくなると忘れますね。かつて覚えたのに、何かもったいない気がします。

Aベストアンサー

 なんだかなあ‥
えーと、質問者さんとNO4さん、残念だけどこれは解析解が無いことで有名な問題なんです。

 針の端が支点で、針が垂直に下まで動けると考えれば、これは普通の振り子の問題で、ただ角度の初期値が180度近くから始まって、水平になるまでの時間を求めるだけの問題なんです。
普通、振り子の角度θは、まっすぐ下に垂れ下がった位置から計るのが普通です。
振り子のニュートンの運動方程式は、
(1) d^2θ/dt^2 = -(g/L)sinθ
です。gは重力加速度。Lは重心と支点の距離。
定石に従って
(2) g/L=ω^2
と置くと
(3) d^2θ/dt^2+ω^2sinθ= 0

θが小さく、線形近似
(4) sinθ≒θ
が成立するならば
(5) d^2θ/dt^2+ω^2θ= 0
となり、これは簡単に解けて、解は単振動の
(6) θ=Csinωt
です。Cは小さな初期値。サイン関数だから周期はωt=2πより
 τ=2π√(L/g)

しかし、設問はθが180度に近いので、sinθ≒θの近似は成り立たず、(1)は解析解を持たない、楕円積分なのです。(第一種楕円積分)。
そこで(1)式を、数学の本にある楕円積分の標準形にするためには、両辺にdθ/dtを掛ければ積分できて、
 (dθ/dt)^2 = 2ω^2cosθ+積分定数
積分定数を決めるために初期条件、θ=α、dθ/dt=0を上式に入れれば
 (dθ/dt)^2 = 2ω^2(cosθ-cosα)
となり、三角公式
 cosθ-cosα=2{sin^2(α/2)-sin^2(θ/2)}
によって、
(7) dx/√(1-k^2sinx) = ωdt
となる。ここにk=sin(α/2)、x=θ/2です。左辺が数学の本にある形です。

積分区間は、初期値θ=α>90度から、針が水平(θ=90度)まで。本に数表が載ってますが、僕はBASICで書いて計算した記憶があります。
左辺の積分値をKとすれば、右辺の積分はωtだから、
 水平までの時間t = K/ω= K√(L/g)
となります。


>当時、一生懸命に勉強したことでも、社会人になって使わなくなると忘れますね。かつて覚えたのに、何かもったいない気がします。

 解析解が無いのだから、忘れたのではなく、記憶に無いのが当然だとおもいますね。
僕はまだ社会人じゃないですけど、僕も未来でこの結果を使うことは無いのでしょうね。

 なんだかなあ‥
えーと、質問者さんとNO4さん、残念だけどこれは解析解が無いことで有名な問題なんです。

 針の端が支点で、針が垂直に下まで動けると考えれば、これは普通の振り子の問題で、ただ角度の初期値が180度近くから始まって、水平になるまでの時間を求めるだけの問題なんです。
普通、振り子の角度θは、まっすぐ下に垂れ下がった位置から計るのが普通です。
振り子のニュートンの運動方程式は、
(1) d^2θ/dt^2 = -(g/L)sinθ
です。gは重力加速度。Lは重心と支点の距離。
定石に従って
(2)...続きを読む

Q重心位置による物体の転倒しやすさ

重心の位置が高い物体は低い物体より、転倒しやすと思いますが、どれくらい違うのかニュートン(N)を使用して説明していただけませんか?

Aベストアンサー

>幅900mm奥行き600mm高さ1800mmの書庫で
>重心の位置が高さ900mmと1350mmの場合でいかがですか。
>加速度が例えば818ガルとします。

では、この条件で求めてみましょう。
まず、倒れる方向ですが、幅と奥行きのうち小さい方の
奥行きを考えます。

●抵抗モーメントMr
 抵抗モーメントは、抵抗幅の1/2に物体の重量を乗じて
 求めます。
 Mr=1/2×L×m×g
 ここに、
  L:奥行き(=0.600m)
  m:質量(kg)
  g:重力加速度(≒9.8m/sec2)
 これを代入すると、
 Mr=1/2×0.6×m×9.8
  =2.94×m
 となります(mは質量)

●回転モーメント M1・M2
 次に、それぞれの回転モーメントを求めましょう
 加速度は、818gal=8.18m/sec2
  M1=m×0.9×8.18=7.36×m
  M2=m×1.35×8.18=11.04×m
 (mは質量)
 M2の方が大きくなりますが、どちらも抵抗モーメントより
 大きいので、両方とも倒れてしまいますね。

 もっとも、重力加速度が980galですから、818gal水平加速度というのは
 すごい大きさです。天地が真横になったことに近いですからね。
 地震で言うと、阪神大震災並みです^^;

●耐えられる加速度を逆算
 逆に、どれぐらいの加速度まで耐えられるかを
 抵抗モーメントから逆算してみましょう。
  M1=m×0.9×α1>MR=2.94×m
  M2=m×1.35×α2>MR=2.94×m
 この不等式を解くと、
  α1>3.26m/sec2=326gal
  α2>2.18m/sec2=218gal

 というわけで、
  ・重心位置900mmは、326galまで耐えられる。
  ・重心位置1350mmは、218galまで耐えられる。
 ということになります。

***

 もっとも地震動は振幅を繰り返しますから、単純に
 地震の加速度と比較はできませんよ^^;

 また、質力の場合、抵抗モーメントも回転モーメントも
 質量に比例しますので、質量はなくても計算できます。

>幅900mm奥行き600mm高さ1800mmの書庫で
>重心の位置が高さ900mmと1350mmの場合でいかがですか。
>加速度が例えば818ガルとします。

では、この条件で求めてみましょう。
まず、倒れる方向ですが、幅と奥行きのうち小さい方の
奥行きを考えます。

●抵抗モーメントMr
 抵抗モーメントは、抵抗幅の1/2に物体の重量を乗じて
 求めます。
 Mr=1/2×L×m×g
 ここに、
  L:奥行き(=0.600m)
  m:質量(kg)
  g:重力加速度(≒9.8m/sec2)
 これを代入すると、
 Mr=1/2×0.6×m×9...続きを読む

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q回転運動の運動エネルギーについて困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます.

[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが,その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは,

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで,

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません.

回転の運動エネルギーは
(1/2)・(Io)・(θ')^2なのに,なぜ第2項が出てくるのでしょうか.
どなたか助けてください.お願いします.

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回...続きを読む

Aベストアンサー

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

Q衝撃力(撃力)の単位について

一端をピンで固定した棒を倒した時の最大衝撃力(ピーク衝撃力)を計算したいのですが、自分で調べてみたら短い時間にかかる衝撃力(撃力)は力積から求める事がわかりました。

ですが衝撃力の単位がわからず困っています。
力なのでNであったり、力積のN・sであったり、Gであったり・・・

Gというのは重力加速度9.8m/s^2を1Gと定義したものですよね?
つまりただの加速度ですよね?

衝撃力(撃力)の単位は何故バラバラなのでしょうか?
どれが正しい単位なのでしょうか?
またN→GやG→Nの変換はどのように計算すればよろしいでしょうか?

よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

 衝撃力という言葉は自分で定義して使うべきでしょうね。物理学では特に合意された単語ではありません。つまり、説明抜きに言っても通じません。

 撃力は物理学でよく使われます。基本的には力積(一番単純には「力×時間」)です。これは、運動量の差と等しい。

 しかし、その物理学的現象にかかる時間(緩和時間とも呼ばれます)が短すぎるので(トートロジーですが、だから撃力と呼ばれている)、撃力の前後の運動量の差から力積を計算で推定します。

 それでも撃力の過程を考察するなら、その定義に立ち返り、力と時間だということになります。力の積分になりますが、力が一定とすれば、単純に経過時間を掛ければいいわけです。

 基本となる式は、ニュートン力学の基本式F=maです。これが力。N(ニュートン)は基本単位を複数使って作られる組立単位で、よく使われるMKS単位系で言えば、kg・m/s^2の基本単位を持ちます。重さの単位でもあり、1kg重≒9.8Nです(重力の強さは地球の場所ごとで異なるので、厳密に=にできない)。

 力が一定であれば、それに秒での時間を掛ければいいことになります。力が一定でなければ、力を時間で定積分することになります。

 そのいう理解を前提として、たとえば衝撃力という言葉を定義して使えばいいわけです。逆に言えば、あらかじめ定義を示さないで「衝撃力は」と言ってしまうと、通じません。
 よく「パンチ力1トンの破壊力」などと言ったりしますが、物理学的には意味不明です。これは作用する面積も示していないし、1000万分の1秒なら、蚊が刺したほうが破壊力あるんじゃないでしょうか。

 あ、そうか。書いていて思い出しました。もし力が「単位面積当たり表示」なら、作用する面積も必要ですね。釘や針が容易に硬いものを貫通できるのは、とがっているからです。

 以前、レコードがあったころ(今でも好事家は持っていますが)、「針先には3トンの力が掛かっています」なんて説明をしていたようです。1cm^3あたりだったか、1m^3あたりだったか忘れましたが。

 その撃力が働いている間の力でもいいし(たとえばN:ニュートン)、運動エネルギー=仕事でもいいし(たとえばJ:ジュール)、仕事率(たとえばW:ワット)でもいいし、加速度でもわけです。もちろん撃力そのままに、力積(N・s)でもOKです。

>またN→GやG→Nの変換はどのように計算すればよろしいでしょうか?

 F=maという基本式から、単位に気を付けて計算すればいいです。

 衝撃力という言葉は自分で定義して使うべきでしょうね。物理学では特に合意された単語ではありません。つまり、説明抜きに言っても通じません。

 撃力は物理学でよく使われます。基本的には力積(一番単純には「力×時間」)です。これは、運動量の差と等しい。

 しかし、その物理学的現象にかかる時間(緩和時間とも呼ばれます)が短すぎるので(トートロジーですが、だから撃力と呼ばれている)、撃力の前後の運動量の差から力積を計算で推定します。

 それでも撃力の過程を考察するなら、その定義に立ち...続きを読む

Qなぜ熱膨張係数は物質により異なるのでしょうか?

先日、大学の実験で金属の熱膨張係数を調べたのですが、実験後なぜ熱膨張係数は物質によって異なるのか、またなぜ熱膨張係数は温度変化するのかを調べなさいといわれました。
大学の図書館などでいろいろ調べてみたのですが、そのことに関して記述されている本がなかなか見つからなくて困っています。
もし知っている方がいましたら詳しく教えてください。
本の名前やサイトでも結構ですのでお願いします。

Aベストアンサー

固体の中で原子は整然と並んで結晶を作っているわけですが、個々の原子は、結晶の中での安定な位置にとどまろうとしています。ですから、大雑把にいえば、原子同士はバネでつながれているようなものです。有限温度では熱エネルギーのために原子は安定点を中心に振動しています。

ここで、原子同士をつないでいるバネが、力の大きさが変位の絶対値に比例する理想的なバネだったら熱膨張は起こらないのですが、実際の原子同士の相互作用は、安定点から同じだけ離れたとしても、原子同士が近づく方向に動いたときに働く力の方が、原子同士が離れた方向に動いたときに働く力よりも大きくなっています。ファンデルワールス力を与えるレナードジョーンズポテンシャルを御存知でしたら、このことが納得できるのではないかと思います。

したがって、温度が上昇して熱振動の振幅が大きくなると、原子間の平均の距離は(近づくとより強い力がかかるわけですから)、長くなります。要するに温度が上がると、固体は膨張します。これが熱膨張の原因です。

熱振動の振幅が小さければ小さいほど、バネは理想的なバネに近づいていきますから(振り子の振動を解析するときに、振幅が小さければ単振動とみなしてよいのと同じ)、熱膨張係数は温度を下げると小さくなって、絶対零度では零になります。

原子間の相互作用(要するにバネの力)を与えるポテンシャルの詳細は、当然、構成元素や結晶構造によって変わりますから、熱膨張係数は物質によって変わります。

でも、世の中には変な物質があって、磁気的な体積変化と熱膨張がキャンセルして、温度を変えても長さがほとんど変わらないもの(インバーと呼ばれています)や逆に温度を「下げる」と体積が増えるものまであります。

固体の中で原子は整然と並んで結晶を作っているわけですが、個々の原子は、結晶の中での安定な位置にとどまろうとしています。ですから、大雑把にいえば、原子同士はバネでつながれているようなものです。有限温度では熱エネルギーのために原子は安定点を中心に振動しています。

ここで、原子同士をつないでいるバネが、力の大きさが変位の絶対値に比例する理想的なバネだったら熱膨張は起こらないのですが、実際の原子同士の相互作用は、安定点から同じだけ離れたとしても、原子同士が近づく方向に動いたとき...続きを読む

Q「いずれか」と「いづれか」どっちが正しい!?

教えて下さいっ!
”どちらか”と言う意味の「いずれか」のかな表記として
「いずれか」と「いづれか」のどちらが正しいのでしょう???

私は「いずれか」だと思うんですが、辞書に「いずれか・いづ--。」と書いてあり、???になってしまいました。
どちらでもいいってことでしょうか?

Aベストアンサー

「いずれか」が正しいです.
「いづれ」は「いずれ」の歴史的かな遣いですので,昔は「いづれ」が使われていましたが,現代では「いずれ」で統一することになっていますので,「いずれ」が正しいです.

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)


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