半径rの滑車の両端に質量mのおもりをぶら下げて、片方のおもりを速度vで降下させたとします。このとき

Question

半径rの滑車の両端に質量mのおもりをぶら下げて、片方のおもりを速度vで降下させたとします。

このとき、滑車の中心周りのおもりの角運動量はそれぞれmrvと表せると思うのですが、

これはおもりが滑車の中心周りに円運動しているということでしょうか？また、慣性モーメントはmr^2ですか？

ご教授お願い致します。

tknakamuri · Accepted Answer

符号が違ってました(^^;
>ω=dθ/dt=νcos(-θ)/L
>Iω=mL²・vcos(-θ)/L=mvLcos(-θ)=mvr

ω=dθ/dt=ν(-cosθ)/L
Iω=mL²・v(-cosθ)/L=mvLcos(-θ)=mvr

>どんな質点の運動に対しても、
>「この質点はある点周りに回転運動している」と言えるのでしょうか？

角運動量があれば「回転している」と言えるかもしれませんが
回転運動の定義次第な気がします。

回転は、回転中心を中心にものを回す合同変換
というのが普通の定義だと思うので、そういう意味では
直線運動は回転運動ではないですね。

有る点から見て物体の見える方向が変わるのが回転運動なら
直線運動は回転運動ろ言える場合があるといえるでしょう。

tknakamuri · Answer

う~ん、No3で求められているのは
滑車と重りの組み合わせたものの回りにくさ
(滑車とおもりの実効的な慣性モーメントのようなもの)
なので、おもりの慣性モーメントでは無いですね。

tknakamuri · Answer

おもりの角運動量というのは

おもりの慣性モーメント=I=mL²(Lは滑車の中心からおもリまでのの距離)
おもりの角速度=ω
とすると

角運動量=Iω
です。

ωは滑車の中心から見た、おもりの「方向(角度)」の単位時間あたりの変化。
つまり、回転中心から見て、おもりの方向が時間と共に変化すれば
角運動量を持ってます。

滑車の中心からおもりへ向かう直線の方向をθ(水平右方向を0、反時計回り)
とすると、滑車の左端から下へ速さvで降下する重りの角運動量は

ω=dθ/dt=νcos(-θ)/L

Iω=mL²・vcos(-θ)/L=mvLcos(-θ)=mvr

>これはおもりが滑車の中心周りに円運動しているということでしょうか

おもりの方角が変化しさえすれば良いので
円運動である必要はありません。

>慣性モーメントはmr^2ですか？

いいえ、mL² です。

yhr2 · Answer

No.2 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞「回転の運動方程式 T=Iβ」というのは、滑車の回転の運動方程式ではなく、おもりの滑車中心周りの回転の運動方程式で正しいでしょうか？

おもりを両端に付けたロープは一体ですから、滑車の円周上も直線上も、一体で運動します。
つまり「同じ運動方程式」で表わせます。

yhr2 · Answer

＞直線運動する物体が、回転運動する場合と同じように角運動量を持つということがよく理解できません。

それでは、「楕円」や「双曲線」で運動するものが角運動量を持つことも理解できませんか？
惑星の運動は「楕円」ですが、角運動量を持ちますよね？

「真円」を「楕円」にして、それをず～っと扁平にしていったときに、どこまでが「角運動量」を持つことを理解でき、どこから理解できなくなりますか？

例えば、こんな記事を読んでみてください。
↓
https://eman-physics.net/dynamics/angular2.html

＞また、滑車と糸の質量を無視した場合、おもりの慣性モーメントはどうなりますか？

おもりに力 F を加えれば、滑車やロープに質量がなければ、質量はおもり2個の 2m だけなので、加速度を a とすると
　2ma = F
→　a = F/(2m)
となります。
これは、回転半径 r の円周上の加速度なので、角加速度 β は
　β = a/r = F/(2mr)
になります。
一方、トルクは
　T = F･r
で、回転運動の運動方程式
　T = Iβ
より
　F･r = I･F/(2mr)
→　I = 2mr^2

おもりが1個だけなら「mr^2」ですが、おもりは「両端に1個ずつ、計2個」なので「2mr^2」になります。

yhr2 · Answer

＞滑車の中心周りのおもりの角運動量はそれぞれmrv

「それぞれ」とは「両端のおもり」という意味ですか？

角運動量を「ベクトル」で表わせば、２つの角運動力ベクトルの向きは「逆向き」になります。
１つの角運動量の方向を「プラス」で表わせば（つまり「mrv」）、他方の角運動量は「-mvr」になります。

＞これはおもりが滑車の中心周りに円運動しているということでしょうか？また、慣性モーメントはmr^2ですか？

いいえ、おもりは「滑車の中心から距離 r だけ離れた直線上を、直線運動している」ということです。見たまんま。円運動はしていません。
ベクトルで表わせば
　→L ＝ →r × →(mv) = m(→r × →v)

＞また、慣性モーメントはmr^2ですか？

トルクを加えて、そのときの角加速度（角速度の変化率）を見てみないと分かりません。
滑車や糸（ロープ？）にだって慣性モーメントがありますよね？

半径rの滑車の両端に質量mのおもりをぶら下げて、片方のおもりを速度vで降下させたとします。 このとき

符号が違ってました(^^;

う~ん、No3で求められているのは

おもりの角運動量というのは

No.2 です。

＞直線運動する物体が、回転運動する場合と同じように角運動量を持つということがよく理解できません。

＞滑車の中心周りのおもりの角運動量はそれぞれmrv

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