nを正の奇数とします。 p[1],p[2],…,p[n]を素数とします。 Π[k=1→n](√p[k

nを正の奇数とします。
p[1],p[2],…,p[n]を素数とします。
Π[k=1→n](√p[k]+(-1)^k)
=(√p[1]-1)(√p[2]+1)…(√p[n]-1)
は無理数ですか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/30 13:09

＞ p[1]〜p[n]は必ずしも異なる必要はないです。

同じこと。
p[k];k=1,2,…,n のうち相異なるものを
q[k];k=1,2,…,m として、
(1+√q[1])(1+√q[2])…(1+√q[m]) を
分配法則で展開して同類項を整理した各項を
r[k];k=1,2,…,(2^m) と置く。

p[k] に同じのものがあろうとなかろうと、
(√p[1]-1)(√p[2]+1)…(√p[n]-1) を展開した式は
r[k] の整数係数一次結合になっている。
これが有理数であれば、r[k] は有理数体上一次従属
ということになるが、No.1 のリンク先の話題により
r[k] は一次独立である。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/29 13:31

無理数です。

(√p[1]-1)(√p[2]+1)…(√p[n]-1) が有理数だとすると、
この式を分配法則で展開した各項が有理数体上一次従属
ってことになるけど、↓この記事にあるように、それらは一次独立です。
https://junology.hatenablog.com/entry/2013/07/14 …

この回答へのお礼

p[1]〜p[n]は必ずしも異なる必要はないです。

お礼日時：2023/05/29 21:02

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/29 09:35

勘違いしました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/29 08:27

いいえ

n=1, p[1]=5 とすると
　√(5-1)=2

この回答へのお礼

(√5)-1は無理数です。
√(5-1)ではありません。

お礼日時：2023/05/29 09:21