場合の数・確率 03 集合の要素

本題

本問は、３変数

２変数なら私は、カルノー図ですが

弁図しかありませんかね

弁図初心者です

他にはない方法あるのかな

識者の方のアプローチも教えていただけると幸いです

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質問者からの補足コメント

• 本題
  
  ３つの集合の要素数
  
  確かにその公式は存在するのですが
  
  視覚的に解くことに大事にしている私の数学ですので
  
  ベン図で考えた
  
  mtrajcp教授のように数式で鮮やかに解くのはわたしにはほど遠い
  
  この問題の類題を探し、もう少し研究してみたい
  
  以下答案
  
  from minamino
  
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    補足日時：2023/06/10 13:54

• 

  答案です、ご評価、ご指導ください。
  
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  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/10 14:00

• 

  学者さん
  
  こんにちは
  
  私も似たこと考えたのですが
  
  結局、未知数を求めるにに等式で扱うことになりますよね
  
  悩むところですが
  
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  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/06/10 14:39

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/10 16:53

図の通り

この回答へのお礼

教授

こんばんわ

体調でも崩されましたか

この頃回答を頂いていないので心配です。

元気になったらまたご回答ください

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from minamino

お礼日時：2023/06/14 18:18

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/10 20:56

まあ今回は、不思議なことに要求された m(¬A∩¬B∩C) の値ほ求まります。

偶然って素敵ですね。
(未知数の個数) > (条件式の本数) である連立一次方程式の解で
どの未知数の値がワンポイントで求まるか求まらないかは
個々の連立方程式について解いてみないと判らない。
問題設定が運任せで不適当だよなあ...というボヤきで今回は終わりましょう。
興味があれば、連理方程式の解空間について
線形代数の教科書で組織的に学んでみて下さい。
面白い話がいろいろあって、掘り下げれば教科書一冊ぶんの話です。
やってみたら値だ出たよ...で終わる話ではないように思います。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/10 14:49

←補足(06/10 14:39)

写真の x と y の間には、
m(A∪B∪C) = 60 から一次式が1本立ちますね。
どの未知数とどの未知数の間にどんな関係式があるかは、
連立方程式を具体的に解いてみないと判らない。
なんだかどんよりした問題です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/10 14:26

軽脳図も、便図も、集合の個数が多くなってくると

ややこしくて扱いきれなくなりますね。
でも、A,B,C の 3個なら大丈夫。便図が便利です。
マルを3つ書いて、弧で区切られた各区画に未知数名をつけましょう。
問題に与えられた条件は、
m(A∩B∩C) + m(A∩¬B∩C) + m(A∩B∩¬C) + m(A∩¬B∩¬C) = 42,
m(A∩B∩C) + m(¬A∩B∩C) + m(A∩B∩¬C) + m(¬A∩B∩¬C) = 36,
m(A∩B∩C) + m(¬A∩B∩C) + m(A∩¬B∩C) + m(¬A∩¬B∩C) = 27,
m(A∩B∩C) + m(A∩¬B∩C) + m(A∩B∩¬C) + m(A∩¬B∩¬C)
　+ m(¬A∩B∩C) + m(¬A∩¬B∩C) + m(¬A∩B∩¬C) = 60,
m(A∩B∩C) = 10,
m(A∩B∩C) + m(A∩B∩¬C) = 26.
です。

7元６連立の一次方程式なので、自由度が１あって、解は
m(A∩B∩C) = 10,
m(A∩¬B∩¬C) = x,
m(¬A∩B∩¬C) = 17-x,
m(¬A∩¬B∩C) = 8,
m(¬A∩B∩C) = x-7,
m(A∩¬B∩C) = 16-x,
m(A∩B∩¬C) = 16.
となります。
各個数が ≧0 なので、7 ≦ x ≦ 16 です。

個数が決まらな区画もあるのですが、
問題で問われている m(¬A∩¬B∩C) = 8 だけは求まるのでした。
計算の途中で x の残る区画の値を求めようとしてしまうと
計算が続かなくなる。引っ掛けというか、不思議な問題です。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/10 11:08

m(A∪B∪C)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(C∩A)+m(A∩B∩C)

↓両辺にm(A∩B)-m(A)-m(B)を加えると
m(A∪B∪C)-m(A)-m(B)+m(A∩B)=m(C)-m(B∩C)-m(C∩A)+m(A∩B∩C)
↓左右を入れ替えると
Cのみに属する要素の個数は
m(C)-m(B∩C)-m(C∩A)+m(A∩B∩C)=m(A∪B∪C)-m(A)-m(B)+m(A∩B)
=60-42-36+26
=8

この回答へのお礼

流石に教授ですね

私は、ベン図で考えました

答案は、

補足コメントしました

今回も有難うございました

from minamino

お礼日時：2023/06/10 13:57

No.2 回答者： kmee 回答日時： 2023/06/10 10:04

カルノー図は論理式の簡略化に便利なツールで、集合に使うものではありません。

また、4変数までは普通に対応しています。(5変数以上になると立体的になってくるので、かなり面倒です)

X = A∪B とすると
A∪B∪C = (A∪B)∪C = X∪C
なので、2変数(というか2集合)の話になります。
https://mathwords.net/yousosuu
複数集合の要素数は上記URL等を参考に

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/06/10 09:40

極論すれば, 式をゴリゴリいじっていけば求まるはずなんだけどなぁ....

ところで, あなたのいう「弁図」ってなに? 一般的な用語じゃないと思うよ.

この回答へのお礼

ベン図でしたねぇ

失礼しました

お礼日時：2023/06/10 09:47