ベクトル u=(1,-2,1) , v=(2,3,1) について、ベクトル (a,b,c) がuと

Question

ベクトル u=(1,-2,1) , v=(2,3,1) について、

ベクトル (a,b,c) がuとvの1次結合で表されるときa,b,cの関係を求めよ。

この問題の解答は、点P(a,b,c) が3点O(0,0,0), A(1,-2,-1), B(2,3,1)を通る平面上にあれば良いことを用いて、解を a-3b+7c=0としているのですが、

何故原点O(0,0,0)を通るとしてよいのですか？ベクトルuとvの始点がどこかは分からないので、原点を通るかどうかは分からないのではないですか？

ご教授お願い致します。

tknakamuri · Accepted Answer

>例えば平面が(1,1,1)を通るとすると、
>解はa-3b+7c=5 と変わってしまうのですが、
>これは正しいのでしょうか？

正しくないです。1次結合という条件と合わないです。

ありものがたり · Answer

u,v の一次結合全体がなす集合は、R^3 の部分線型空間であって、
それを位置ベクトルとする点の集合は O, A,B を通る平面になります。
単に、u,v が張る線型空間には零元があるというだけの話です。

tknakamuri · Answer

>点P(a,b,c) が3点O(0,0,0), A(1,-2,-1), B(2,3,1)を
>通る平面上にあれば良いことを用いて、

ここですでにベクトルが位置ベクトルと仮定してるのに
ベクトルに始点がないとか言い出すのはナンセンス。

位置ベクトルでないなら点とか平面とか原点とか言うのは
やめましょう。

またそういう仮定は不要で、

(a, b, c) =t(1,-2,-1) + u(2,3,1)

で t = u = 0 なら (a, b, c) = (0, 0, 0)
で a=b=c = 0 になりうることは明らかだし

上の式から
a = t + 2u
b = -2t + 3u
c = -t + u

から 
3(2a+b) - 7(a+c) =0
→ -a + 3b - 7c = 0

と簡単に求まります。

stomachman · Answer

> ベクトルuとvの始点

とおっしゃるのは、「力を矢印で表したときの始点（力の作用点）」の話をなさっているんだと思います。が、それはちょっと違う。

ベクトルは「大きさと向き」を持つ量です。そして、ベクトルに「始点」なんてものは、そもそもありません。

もちろん、ベクトル (a,b,c) を「始点のある矢印」で図示しても良いです。「矢印の始点」が原点にあり、「矢印の先端」は座標(x,y,z) = (a,b,c)にある、そういう矢印を描くわけです。このようにすると、座標の値はそれ自体でベクトルとして扱うことができる。このことを特に強調するために、ベクトル (a,b,c)を「位置ベクトル (a,b,c)」と呼ぶ場合もあります。
　さて、こうして描いた矢印を平行移動しても、それが表すのは同じベクトルのままです。たとえば、「矢印の始点」が座標(x,y,z) = (p,q,r)に来るように矢印を平行移動すると、「矢印の先端」は座標(x,y,z) = (a+p,b+q,c+r)になる。でもこの矢印が表すベクトルは (a,b,c)のままです。このとき、
　　（「矢印の先端」の座標の位置ベクトル(a+p,b+q,c+r)） = （「矢印の始点」の位置ベクトル(p,q,r)) +  (a,b,c)
 になっている。書き換えれば
　 (a,b,c) = （「矢印の先端」の座標の位置ベクトル(a+p,b+q,c+r)）- （「矢印の始点」の位置ベクトル(p,q,r))
ですね。

というわけで、「ベクトルuとvの始点」という概念には意味がない。そして、ご質問の問題にあるベクトルuとvはどちらも「位置ベクトル」です。もちろん、これらを矢印で描きたいのなら、それぞれ原点と座標uを結ぶ矢印と、原点と座標vを結ぶ矢印（あるいはそれらを自由に平行移動したもの）ということです。

が、そんなことやっても意味がありません。もう矢印のイメージから離れた方がいい。すなわち、ベクトルを
　　　　(a,b,c) + (p, q, r) = (a+p, b+q, c+r)
　　　　k (a,b,c) = (ka, kb, kc)
　　という規則に従う対象
として抽象的に捉え直さないと、この先、勉強を進めるにつれてますますワケワカンナくなるに違いない。

じゃあ、「力を矢印で表したときの始点（力の作用点）」はどうなるんだ、とお考えになるでしょう。その矢印は、力の作用点の位置ベクトル (x,y,z)と、力のベクトル(s,t,u)の両方を図示しているんです。位置ベクトルの成分xの単位は[m](メートル)で、力のベクトルの成分sの単位は[N](ニュートン)だから、そもそも足したり引いたりすらもできない、いわば全く別種の対象です。その両者をごっちゃに描いた矢印は、「ナントナク分かった」という気にさせるための便方だけれども、それを理解しないまま直感や類推だけに頼って使っていると、いろんな誤解の元にもなる。要注意です。

mtrajcp · Answer

u=(1,-2,1)
ならば
A(1,-2,-1)ではなく
A(1,-2,1)
だから
a-3b+7c=0ではなく
5a-b-7c=0
になります

ベクトル u=(1,-2,1) , v=(2,3,1) について、
ベクトル (a,b,c) がuとvの1次結合で表されるとき
(a,b,c)=xu+yv
(a,b,c)=x(1,-2,1)+y(2,3,1)
(a,b,c)=(x,-2x,x)+(2y,3y,y)
(a,b,c)=(x+2y,-2x+3y,x+y)

a=x+2y…(1)
b=-2x+3y…(2)
c=x+y…(3)

-3b=6x-9y
7c=7x+7y

2c-a=x
3c-b=5x

(1)-(3)から
a-c=y…(4)

(3)の両辺に2をかけると
2c=2x+2y
↓これと(2)を加えると
b+2c=5y
↓これに(4)を代入すると
b+2c=5(a-c)
b+2c=5a-5c
↓両辺に-b-2cを加えると
0=5a-b-7c
∴
5a-b-7c=0

kantansi · Answer

おっしゃる通り、ベクトルuとvの始点が与えられていないため、原点O(0,0,0)を通る平面と仮定することは適切ではありません。この問題では、ベクトルuとvの始点は不明ですが、その点は問題の解を求める上で重要ではありません。

ベクトルuとvの1次結合を表すベクトル(a,b,c)が、平面上に存在するための条件を考えましょう。ベクトルuとvが張る平面を考えると、その平面上の任意の点は、uとvの1次結合で表されるはずです。

ベクトルuとvの1次結合を表すベクトル(a,b,c)が平面上に存在するためには、以下の条件を満たす必要があります。

ベクトル(a,b,c)がベクトルuとvの1次結合であること: (a,b,c) = λu + μv (λ, μは実数)

平面上に存在すること: ベクトル(a,b,c)が平面上にあるためには、ベクトル(a,b,c)がベクトルuとvに直交する必要があります。

したがって、条件1を満たすためには、

(a,b,c) = λ(1,-2,1) + μ(2,3,1)
= (λ+2μ, -2λ+3μ, λ+μ)

と表されます。

そして、条件2を考慮すると、ベクトル(a,b,c)がベクトルuとvに直交することから、

(λ+2μ)(1) + (-2λ+3μ)(-2) + (λ+μ)(1) = 0

この式を整理すると、

-3λ + 4μ = 0

となります。

したがって、条件1と条件2を満たすための関係式は、

a - 3b + 7c = 0

となります。

したがって、ベクトル(a,b,c)は、上記の関係式を満たす必要があります。原点O(0,0,0)を通ることを仮定する必要はありません。

このように、原点を通ることを仮定せずに、ベクトルuとvの1次結合を考えることができます。

ベクトル u=(1,-2,1) , v=(2,3,1) について、 ベクトル (a,b,c) がuと

>例えば平面が(1,1,1)を通るとすると、

u,v の一次結合全体がなす集合は、R^3 の部分線型空間であって、

>点P(a,b,c) が3点O(0,0,0), A(1,-2,-1), B(2,3,1)を

> ベクトルuとvの始点

u=(1,-2,1)

おっしゃる通り、ベクトルuとvの始点が与えられていないため、原点O(0,0,0)を通る平面と仮定することは適切ではありません。

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