回答の意味について

前回の質問↓
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13521643.html
に、ある方が以下のような回答をされたのですが、最後の「それができないことは、3.4.の対角線論法で証明済み」の部分以外がわかりませんでした。なぜ1.の実数の1対1対応の、一方の実数が自然数と1対1対応してないと2.で対角線論法が使えないのでしょうか。わかる方がいたら解説して頂けると大変ありがたいです。

「対角線論法が何だか知っとんかいな。2.で対角線論法が使えるためには、1.の実数の1対1対応の、一方の実数が自然数と1対1対応してないといけない。それができないことは、3.4.の対角線論法で証明済み」

以下は前回の質問のコピペです。

1.すべての実数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
2.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

これだと実数同士間に全単射写像が存在しないことになって、実際には実数同士間に全単射写像が存在することと矛盾するから、この論理展開は間違ってますよね。とすると、

3.すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができると仮定する
4.対角線論法により、対応表に存在しない実数が存在するから仮定は誤り

からも、「自然数と実数の間に全単射写像が存在しない」という結論を導くことはできないですよね。

質問は以上で以下は補足ですが、補足の内容に誤りがあればご指摘ください。

すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法

まず、すべての自然数と、異なる実数を無限に並べたもの、とを対応させるのだが、それは、異なる実数を無限に並べた「第一列」の「一番目」の実数を「1・1」とすると、

1→1・1
2→1・2
3→1・3
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と表すことができる。これはいわゆる「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させたと仮定したもの」であり、対角線論法によってこの表には存在しない実数を作れることから、仮定は間違い＝「実数は自然数より多い」という結論になるのが従来の話である。しかしこれは、自然数を対応させる対象を「第一列」に限定したことによる間違った結論だ。

対角線上の数字のずらし方は、すべて一つずらす1111…の他に、1211…,1234…,2624…と無限にあるので、一つの対角線から、「第一列」には存在しない実数を無限に生み出すことができる。対角線論法によって生み出された無限の実数を並べた「第二列」に自然数を対応させることができなければ先の結論は正しいことになるが、そんなことは全然なく、「第二列」の「一番目」の実数を「2・1」とすると、

1→1・1
2→2・1
3→1・2
4→2・2
5→1・3
6→2・3
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のように、始めの、自然数と「第一列」の対応を解消した後、あらためて自然数を、「第一列」と「第二列」に、交互に対応させればいいだけの話なのだ。で、これは、「第一列」と「第二列」を合わせて「新たな第一列」にした(＝始めの状態にリセットした)ということであり、この「新たな第一列＝N1」の対角線から、対角線論法によって「新たな第二列＝N2」が生まれるので、そしたらまたそれまでの対応を解消して

1→N1・1
2→N2・1
3→N1・2
4→N2・2
5→N1・3
6→N2・3
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・

と、自然数を「新たな第一列」と「新たな第二列」に交互に対応させ、これを無限に繰り返せばいいのである。自然数を、「新たな第二列」の実数に、無限に対応させ続けることができるということは、すなわち両者の個数は同じということなのである。

「すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させることができる」という仮定において対角線論法が言えることは、「実数の方が多い」ではなく、「実数は、対応表に、原理的に一部しか提出できない」であり、実数は一部しか出さないのになぜ自然数の方はすべて出さなければならないのか。

「全単射写像が存在する場合のみ両集合の大きさは等しい」という定義を無視して、もしも実数同士の場合に、

N2・1　　1・1→1・1　　N2・1
N2・2　　2・1→2・1　　N2・2
N2・3　　1・2→1・2　　N2・3
N2・4　　2・2→2・2　　N2・4
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のように「両方に対応表に存在しない実数があるからそれぞれの個数は等しい」と言うなら、自然数と実数の場合も、

2　　1→1・1　　N2・1
4　　3→2・1　　N2・2
6　　5→1・2　　N2・3
8　　7→2・2　　N2・4
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というように、偶数を対応表に提出しなければ「両方に対応表に存在しないものがあるからそれぞれの個数は等しい」と言えることになる。

No.3 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/07 11:11

実数にも2通り有って、n次方程式の根として出現する数(n乗すると整数になる数）とそうで無い数。

n次方程式の根として出現する数としては整数・有理数もあり、これ等を含めて代数的数と言う。

それで定義出来ない数は超越数と言って、人類はeとπしか知らない。

で、代数的数は加算集合で有る事が既にカントールによって証明されています。

でも実数全体は非加算集合。
と言う事は、ザックリ言うと、超越数は代数的数の無限大倍有ると言うこと。

なので、色々頑張って無理数（代数的数の一部）が加算集合で有る事を仮に示せたとしても、その無限大倍もある実数全体が加算集合で有る事を示してはいない。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/07/07 13:15

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/06 23:38

前回の投稿にも回答したことだが、

その 2. ができるもんなら、実際に書いてみろ！と言いたい。
対角線論法が何だか知っていたら、そんな馬鹿なことは書けない。

その下に書いてある「証明」については、
既に多くの回答者から繰り返し指摘されているように
＞ 自然数を、「新たな第二列」の実数に、無限に対応させ続けることができる
＞ ということは、すなわち両者の個数は同じということなのである。
が間違い。

ヒルベルトホテルの話と同じで、自然数に何かを対応させる表には
何度でも自然数と同数の新しい要素を追加することができるけれども、
そのことは、任意の集合が自然数一対一対応することを意味しない。
注目している集合(ここでは全ての実数の集合)から自然数と同数の元を
何回除去しても、残った集合が空にならないことがあり得るからだ。

質問の方法で自然数と実数が一対一対応させられると主張するのなら、
表へ実数の追加を繰り返せばいつかは全ての実数が表に現れる
ことの証明を書かなければならない。質問文には、それが無い。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/07/07 13:13

No.1 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/07/06 16:13

カントールの対角線論法は、"加算集合と仮定すると矛盾が出る、従って非加算集合である」と言う論法です。

加算集合の要素と1:1対応表が作れると仮定すると、表から漏れる要素が出てくるので矛盾、と言う論法です。

なので、実数の集合同士を比べる場合には、対角線論法は使えません。
どちらも要素を表に並べられないのですから。

後に、任意の集合のベキ集合は、元の集合より真に要素が多い（濃度が濃い）事を証明するのには、対角線論法は使わずに証明しています。
対角線論法が使え無いからです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2023/07/07 13:12