関数のグラフ

数学の関数の問題です
問題文はa,kを実数とする。実数xについての方程式∣x-1∣-ax+k^2+ak-2＝0が、定数aがどのような実数であっても必ず解を持つようなkの最大値を求めよ。です

私はx>＝1のときとx<1のときで分けたあとaでくくり、
(○)a＋□＝0としたあと
○＝0かつ□＝0のときを求めました。
答えは(-1＋√13)/2,(1-√5)/2となり、最大値なので大きい(-1＋√13)/2にしました。
解説と答えは同じですが解き方が全然違うので間違っているか、その場合はどこが間違っているか教えて欲しいです

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/21 06:59

x≧1のとき、

あなたは
　x=k → k-1=-k²+2・・・・・①
としていますので、グラフ
　y=k-1 と y=-k²+2
の交点を求めていますが、aが任意のとき満たすべき1つの k
を求めているだけです。この kが何を意味しているか説明し
てません。

しつこく言うと k=0 も命題を満たし、命題を満たす kは他
にもあるが、①の結果より大きい kが存在しないことを述べ
ていない。


したがって、
　y=a(x-k)-k²+2・・・・②
のグラフは必ず、(k, -k²+2)をとおり、この点の軌跡は放物
線を描き、
　y=|x-1|・・・・③
のグラフと交わる。そして、③の上側の内側にこの点がある
かぎり、任意のaに対し、必ず交点がある。もし、この外側
に出れば
　右側で外に出たとき、a=1 のとき、②は③と交わらない。
　左側で外に出たとき、a=-1のとき、②は③と交わらない。
とわかるから①で求めた交点
　k=(-1+√13)/2　(k>0 だから)
以下の kのとき、交点がある。

同様に、左側の交点 (k<0)
　-(k-1)=-k²+2
も同様に議論できて
　(1-√5)/2≦k≦(-1+√13)/2
の範囲の時、交点があると、言える。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/22 10:27

|x-1|-ax+k^2+ak-2=0…①

x≧1のとき
x-1-ax+k^2+ak-2=0
(1-a)x+k^2+ak-3=0
(a-1)x=k^2+ak-3

x≦1のとき
1-x-ax+k^2+ak-2=0
(a+1)x=k^2+ak-1

(a≠1)&{(k^2+ak-3)/(a-1)≧1}…(1)
ならば
x=(k^2+ak-3)/(a-1)
が①の解となる

(a≠-1)&{(k^2+ak-1)/(a+1)≦1}…(2)
ならば
x=(k^2+ak-1)/(a+1)
が①の解となる

a=-1のとき(1)から
1≦(k^2+ak-3)/(a-1)
1≦(k^2-k-3)/(-2)
2≦-k^2+k+3
k^2-k-1≦0
(k-1/2)^2-5/4≦0
(1-√5)/2≦k≦(1+√5)/2…(3)

a=1のとき(2)から
(k^2+ak-1)/(a+1)≦1
(k^2+k-1)/2≦1
k^2+k-1≦2
k^2+k-3≦0
(k+1/2)^2-13/4≦0
(-1-√13)/2≦k≦(-1+√13)/2

↓これと(3)から

(1-√5)/2≦k≦(-1+√13)/2

∴kの最大値は
(-1+√13)/2

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/21 19:17

|x-1|-ax+k^2+ak-2=0

x≧1のとき
x-1-ax+k^2+ak-2=0
(1-a)x+k^2+ak-3=0
(a-1)x=k^2+ak-3
a≠1のとき
x=(k^2+ak-3)/(a-1)
x≧1だから
(k^2+ak-3)/(a-1)≧1…(1)

x<1のとき
1-x-ax+k^2+ak-2=0
(a+1)x=k^2+ak-1
a≠-1のとき
x=(k^2+ak-1)/(a+1)
x<1だから
(k^2+ak-1)/(a+1)<1…(2)

a=-1のとき(1)から
1≦(k^2+ak-3)/(a-1)
1≦(k^2-k-3)/(-2)
2≦-k^2+k+3
k^2-k-1≦0
(k-1/2)^2-5/4≦0
(1-√5)/2≦k≦(1+√5)/2…(3)

a=1のとき(2)から
(k^2+ak-1)/(a+1)<1
(k^2+k-1)/2<1
k^2+k-1<2
k^2+k-3<0
(k+1/2)^2-13/4<0
(-1-√13)/2≦k≦(-1+√13)/2

↓これと(3)から

(1-√5)/2≦k≦(-1+√13)/2

∴kの最大値は
(-1+√13)/2

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/21 10:20

結論から言えば「正しくない」です。

＞○＝0かつ□＝0のときを求めました。

そのやりかたは「任意の a に対して (○)a ＋ □ ＝ 0 が恒等的に成り立つ」ということです。
ただし、この問題の場合には、
「ある特定の a に対して、 (○)a ＋ □ ＝ 0 を満たす k があればよい」
ということです。
つまり、「特定の a と k の組合せ」が存在すればそれでよいのです。
「任意の a に対して」という条件は必要ありません。

つまり
(○)a ＋ □ ＝ 0
より、○≠0 であっても
　a = □/○
を満たす k が存在すればよいのです。


数学的には、あなたの解き方は「２つの曲線（曲線と直線）が接するとき」の条件（k の値）を求めていることになります。
その「接するとき」の k が A と B （A ≦ B）だとすると、求める k の条件（２つの曲線が共有点を持つ）が
　A ≦ k ≦ B　　　①
なのか
　k ≦ A または B ≦ k　　　②
なのかによって「最大値」が変わります。
あなたは「A と B」を求め、「A < B」だから「B が最大」と結論付けていますが、その場合には①であることも併せて示す必要があります。
もし②だったら「B が最大」とは言えないからです。

たまたま偶然「正解と同じだった」かもしれませんが、論理の進め方、結論の判定のし方が「不十分、一部が抜けている」ということになると思います。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/21 10:06

k=0のとき

|x-1|-ax+k^2+ak-2=0
|x-1|=ax+2
の
-2≦a<1のときの解は
x=3/(1-a)
a≦-2またはa>-1のときの解は
x=-1/(a+1)
だから

k=0
のとき
∣x-1|-ax+k^2+ak-2=0
は
定数aがどのような実数であっても必ず解を持つ

k=1のとき
|x-1|-ax+k^2+ak-2=0
|x-1|=ax-a+1
の
a<1のときの解は
x=1+1/(1-a)
a>-1のときの解は
x=a/(a+1)
だから

k=1
のとき
∣x-1|-ax+k^2+ak-2=0
は
定数aがどのような実数であっても必ず解を持つ

∣x-1|-ax+k^2+ak-2=0
が
定数aがどのような実数であっても必ず解を持つような
kは
k=(-1＋√13)/2
k=(1-√5)/2
だけとは限らない