この問題の解法を一緒に考えてください！

問題。

次の４つの実数を小さい方から順に並べよ。
ａ＝√（２＋√３）
ｂ＝√１５ －２
ｃ＝１/(√５－√３)
ｄ＝√３

です。√の中や分母の中に式がある場合は（）の中にとじました。
この問題の解答は「ｄ＜ｂ＜ａ＜ｃ」なのですが、解き方を見ると、ａ、ｂ、ｃ、ｄが０以上なので全部２乗して、ｃとａ、ａとｂ、ｂとｄ（←この比べ方がダメだと思います）を各々比べて答えを導いています。
２乗して比べるのは問題ないのですが、解き方が答えを踏まえて２つの文字を比べてるので、答えを導くというより、証明に近い感じに見られます。

ちなみに私は全部２乗して、４つの文字に共通の数字を無理やり出し、それ以外の残りをまた２乗して比べ、共通の数字を出し、２乗して……と、とにかく√がなくなるまで比べてるのですが、後半になると２桁の２乗が続発してミスるコトが多々です。
それで質問なのですが、もっとスッキリと答えを出す方法を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： Kules 回答日時： 2010/04/13 20:00

aの二重根号を外してa=(√6＋√2)/2

またcを有理化してc=(√5+√3)/2
とする力があれば、それぞれの近似値がわかります。
まず第一段階として
a=(2.449ぐらい+1.414ぐらい)/2=1.931ぐらい
b=(4弱)-2=2弱
c=(2.236ぐらい+1.732ぐらい)/2=1.984ぐらい
d=1.732ぐらい

ぐらいのことを考えます。で、頭の中では
・明らかにdは一番小さそう、でもbが意外と小さいかも。
・aとcはたぶんaの方が小さいかな。
・bとaってどうなんだろう。

って感じになるので、ｃとａ、ａとｂ、ｂとｄを調べたくなると思います。
解答では偶然にも上の３つを確かめると全部予想と当たったのでそれで終わりになるというだけです。
自分ではaの方がcより小さいと思っていたんだけど、実はaの方が大きかった、となれば
今度はcとbとかも調べることになります。
(いや、実際解答がそういう意図で作られているかはわからないですけど。
私は無精者なので少しでもめんどくさい計算をさけるためこのように考えます)
第２段階として、不等号を用いて比較していきます。(まだ解答欄には書きません)
とりあえずできるか試します。
1.41＜√2＜1.42、2.44＜√6＜2.45から1.925＜a＜1.935
bは√15がよくわかんないんで保留
1.73＜√3＜1.74、2.23＜√5＜2.24から、1.98＜c＜1.99
√3＜1.74よりd＜1.74
これでd,a,cの関係は明らかです。
最後にbですが、3.8^2=14.44、3.9^2=15.21なので3.8＜√15＜3.9であることがわかります。
a,cはともに1.9を超えており、dは1.8より小さいのでbはこの間だとわかります。
ということでa,b,c,dを一度も2乗せずに求めることもできます。
あとは上に書いたことを解答欄に清書するだけです。
ただ、今回は比較的わかりやすい大小関係だったからというのもあります。
(もっと近い値同士だとたとえば1.414＜√2＜1.415とかさらに小さい桁を見ていかないといけないです)
そのように近似値から範囲を求めて大小関係を求めるのがいいのか、それぞれの文字をとりあえず
2乗するのがいいのか…近似値もこまごまとした計算があるので嫌いな人は嫌いだと思います。

これは私なりの判断基準ですが、「小数第二位までの近似値で(1.41＜√2＜1.42みたいな形で)値を出して、その比較だけで求まりそうならそのままいく(第２段階でけりをつける)。かなり微妙ならあきらめて2乗して比較する」と普段考える時はしています。小数第三位まで考えるのはいやなので。

長文失礼しました。途中切り貼りしながら書いたからちょっと支離滅裂になってるかも・・・参考になれば幸いです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私はバリバリの計算するタイプで、感覚でつかむのではなく、目に見えなければ納得出来ない人です。
なので、いつも面倒な計算や定規を使ってとても正確な図形を描くコトに精を出してきました。
しかし、今回の場合明らかに地道な計算には無理があり、回答者さまの解法が非常にシンプルかつ斬新な印象を受けました。
参考にさせていただきます。
ありがとうございました。

お礼日時：2010/04/13 21:06

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/13 20:07

その問題集の解答例が良い

のではないかと思います。

大きさの順番は、√3 と √5 の近似値を
知っていれば判ります。
あとは、それを証明すればいい。

√3, √5 の 3～4 桁の近似値は、常識の範囲だし、
知らなかったとしても、2 桁程度の近似値なら
その場でつくることができるでしょう。

答案には、証明部分のみを書けばよく、
近似計算で順番を推測する部分は、
書く必要がありません。
白鳥のミズカキってやつです。