lim[(f(g(x)+h)-f(g(x)))/h,h->0]=f'(g(x))の証明について

たとえばsin(x^2)など具体例では確認できたのですが、証明できません。

証明がわかる方いましたら教えてくれませんか?

質問者からの補足コメント

• https://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibu …
  
  合成関数の微分の系なので、証明する方法がわからないだけと個人的に思います。
  
  なのでURLのような鮮やかな証明以外認めません。

    補足日時：2023/08/12 17:56

No.3 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/08/12 15:43

任意のX

と
関数f(X)
に
対して

lim_{h→0}{f(X+h)-f(X)}/h

が存在するとき

f'(X)=lim_{h→0}{f(X+h)-f(X)}/h

と定義する
定義であって
証明すべき事ではありません

g(x)
と
関数f(g(x))
に
対して

lim_{h→0}{f(g(x)+h)-f(g(x))}/h

が存在するとき

f'(g(x))=lim_{h→0}{f(g(x)+h)-f(g(x))}/h

と定義する
定義であって
証明すべき事ではありません
f(X)が微分不可能なら
lim_{h→0}{f(g(x)+h)-f(g(x))}/hは存在しないから
f'(g(x))も存在しない

No.5 回答者： syotao 回答日時： 2023/08/13 12:11

あなたのあげた例

lim[(sin(x^2+2x+2)-sin(x^2))/(2x+2),x->-1]=cos(1)
はロピタルの定理を使うと簡単
つまり左辺の分母分子を微分してx→-1　とすればその極限は＝cos(1)

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2023/08/12 16:21

あなたのあげた具体例からすると質問は

ｘ→aでｈ(x)→0　ならば
lim[(f(g(x)+h(x))-f(g(x)))/h(x),x->a]=f'(g(a))
じゃないの？

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/08/12 14:45

g(x) は h と無関係なので例えば y = g(x) とおけばいい.

あぁ, もちろん
lim [f(y+h) - f(y)]/h = f'(y)
であることが理解できる, というのが前提だ.

この回答へのお礼

lim[(sin(x^2+2x+2)-sin(x^2))/(2x+2),h->-1]=cos(1)

お礼日時：2023/08/12 14:52

No.1 回答者： goorev 回答日時： 2023/08/12 14:17

単なる導関数の一番最初の公式じゃないですか

それは証明というか定義だと思いますけど

この回答へのお礼

https://www.wolframalpha.com/input?i=sin%28x%5E2 …

お礼日時：2023/08/12 14:19