No.2
- 回答日時:
y=ax
のときだけでなく
y=ax²
のときも
y+Δy=a(x+Δx)²
と表すことはできます
Δy=a(x+Δx)²-y
Δy=a(x+Δx)^2-ax²
Δy=a{x^2+2xΔx+(Δx)²}-ax²
Δy=2axΔx+a(Δx)²
Δy/Δx=2ax+aΔx
∴
dy/dx=lim_{Δx→0}(Δy/Δx)=2ax
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
何が疑問なのでしょうか?
y1 = a・x1 ①
は
x1 → x2 = x1 + Δx ②
になれば
y2 = a・x2
になります。
②を使えば
y2 = a・x2
= a(x1 + Δx) ③
です。
ここで、y の増加分を
y2 - y1 = Δy
とすれば
y2 = y1 + Δy
ですから、③は
y1 + Δy = a(x1 + Δx)
となります。
(x1, y1) は任意の (x, y) に対して成り立つので
y + Δy = a(x + Δx)
となります。
補足に書かれている
>とりあえず適当にx,yが変化した量をΔx,Δyと置いているだけですか?
は違います。
上のように、y=ax の関数で対応付けられた「Δx と Δy」です。
>例えば、y=ax²について具体的な値を代入したところ②と同じようにy+Δy=a(x+Δx)²と表すことはできませんでした。
そりゃあ、そうです。
上と同じようにやってみれば
y1 = a(x1)^2 ①'
は
x1 → x2 = x1 + Δx ②'
になれば
y2 = a・(x2)^2
になります。
②' を使えば
y2 = a・(x2)^2
= a(x1 + Δx)^2
= a・(x1)^2 + 2a・x1・Δx + a・(Δx)^2 ③'
です。
ここで、y の増加分を
y2 - y1 = Δy
とすれば
y2 = y1 + Δy
ですから、③' は
y1 + Δy = a・(x1)^2 + 2a・x1・Δx + a・(Δx)^2
となります。
当然
y + Δy = a(x + Δx)
とはならず、③' のように
y + Δy = a(x + Δx)^2
となります。
おそらく「微分」のところで出てきた話なのかと思いますが、一般の「曲線」も、Δx を極めて小さくとれば、
Δx → 0
の極限で「接線」という「直線とみなせる」という意味での
y = ax
なのだろうと思います。
どんな関数であろうと(それが y=ax^2 であっても)、特定の x における「接線」という「直線 y =ax」について議論しているのではありませんか?
No.4
- 回答日時:
関数f(x)のxがΔxだけ変化した時の
f(x)の変化量は
f(x+Δx)-f(x) ですよね。
これをΔyと書くことにすると
Δy=f(x+Δx)-f(x)
f(x)=axの場合
Δy=a(x+Δx) - ax=aΔx
f(x)=ax^2 の場合
Δy=a(x+Δx)^2 - ax^2=2axΔx+a(Δx)^2
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