数学の領域の最大と最小問題で疑問点があります。

座標平面上の点P(x,y)が4x + y <=9,x + 2y >=4, 2x - 3y >= -6の範囲を動くとき、x^2 + y^2の最大地と最小値を求めよ

この問題において、私は最小値を円とx + 2y = 4のグラフが接する時だと考え、点と直線の距離公式を原点(0,0)とx + 2y = 4に適応し、2√2と答えを出しました。
しかし解答はy = 2xのグラフとx + 2y = 4のグラフの好転で求めています。
私の考え方はどこで間違っているのですか？

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/14 13:08

No.3-No.5 連投陳謝：

投稿しても、さっぱりページに反映されなかったから、
何度も送信してしまった。
今朝になったら、まとめて表示されてた。
査読でも入ってたのかな？

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/13 20:44

点と直線の距離公式を間違えて覚えているようなので

公式を使わないで
点と直線の距離を求めましょう

x+2y=4
2y=-x+4
y=(-1/2)x+2
に垂直な直線の傾きは2だから
傾き2で原点(0,0)を通る直線は
y=2x
とx+2y=4との交点を(x,y)とすると
x+4x=4
5x=4
x=4/5
y=8/5
(x,y)=(4/5,8/5)=4(1,2)/5
と(0,0)との距離は
4√(1+2^2)/5
=
4/√5

原点(0,0)
と
x+2y=4
の距離は
4/√5

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/10/13 20:10

原点(0,0)と

x+2y=4
の距離は
|0+2*0-4|/√(1+2^2)
=
4/√5
であって2√2ではありません

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/13 19:16

その解答は変です。

「y = 2xのグラフ」てのは、
問題のどこから出てきたのでしょう？

解法は、あなたのものでよいと思います。
P が動く領域を図示してみましたか？ 下図のようになります。
x^2 + y^2 の最小値は、P が原点を中心とする円と x + 2y = 4 の接点にあるとき、
最大値は、P が 4x + y = 9 と 2x - 3y = -6 の交点にあるときです。

答えは、あなたの値では違います。
(0,0) から x + 2y = 4 までの距離は 2√2 ではなく 4/√5 ですから、
x^2 + y^2 の最小値は、(4/√5)^2 = 16/5 です。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/13 19:15

その解答は変です。

「y = 2xのグラフ」てのは、
問題のどこから出てきたのでしょう？

解法は、あなたのものでよいと思います。
P が動く領域を図示してみましたか？ 下図のようになります。
x^2 + y^2 の最小値は、P が原点を中心とする円と x + 2y = 4 の接点にあるとき、
最大値は、P が 4x + y = 9 と 2x - 3y = -6 の交点にあるときです。

答えは、あなたの値では違います。
(0,0) から x + 2y = 4 までの距離は 2√2 ではなく 4/√5 ですから、
x^2 + y^2 の最小値は、(4/√5)^2 = 16/5 です。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/10/13 19:06

いろいろツッコミどころがあって、何を説明すればよいやら...

とりあえず、その解答は変です。「y = 2xのグラフ」てのは
問題のどこから出てきたのでしょうか？

P が動く範囲を図示してみましたか？ 下図のようになります。
あなたの言うとおり、 x^2+y^2 の最小値は
原点から x + 2y = 4 のグラフまでの距離でよいはずです。
しかし、その距離は、点と直線の距離公式を使うと
2√2 ではなく 4/√5 になります。

ちなみに、x^2+y^2 の最大値は
4x + y = 9 と 2x - 3y = -6 の交点ですね。

No.2 回答者： Dr.Field 回答日時： 2023/10/13 18:54

> 最小値を円とx + 2y = 4のグラフが接する時だと考え、

⇒テストでは、この根拠を書いておいてね。

> 点と直線の距離公式を原点(0,0)とx + 2y = 4に適応し
⇒結論から言えば、これは正しい。

> 2√2と答えを出しました。
⇒これがおかしい。

> 解答はy = 2xのグラフとx + 2y = 4のグラフの好転で求めています。
⇒交点かと思う。結局同じことになるのですけどね。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/10/13 18:37

>x + 2y = 4のグラフが接する時だと考え・・・<

考えるだけなら何でもあり、根拠を示さないと数学にならない。