対角線論法はよくご存じの方も多いと思いますが、理解している限りで、簡単に説明させてもらいます。
『便宜上[0,1]の区間内にあるすべての実数に自然数を対応させたリストがあるとする。
例:1⇔0.A₁₁A₁₂…、2⇔0.A₂₁A₂₂…、…、m=0.Aⅿ₁Am₂…、…
因みに、ⅿ番目の小数点以下ⅿ桁目の数字はAmmと表されることになる。ここで、次の性質を持つ数Bを考える。B=0.B₁B₂…とすると、B₁≠A₁₁、B₂≠A₂₂、…、Bm≠Amm、…
では、このBは上記の対応リストのどこにあるだろうか?答えは「ない」。仮に、Bがn番目の数、つまり、B=0.An₁An₂…だったとすると、Bnn=Annとなるはずだが、Bの性質上、Ann≠Bnnも同時に成り立たねばならないから、Bnn≠Bnnとなってしまう。このような数はありえないというか定義不能となるから、当然、対応リストにもないことになる。いま、[0,1]区間内の全ての実数が自然数との対応リストに載っているとしたのに、リストにない数Bがあることになるから、仮定が間違っていた、つまり自然数は実数に対応しきれない、実数の方が濃度が高いということになる。』
しかし、ここで疑問が出るのです。上記論法で出現したBなる数を本当に実在する数としてよいのか?
ということなのです。Bの性質を満たす”数”を数として認め、実数の一つとしても、矛盾が生じないことは確かめられているのでしょうか?本当に、実数の中には、Bのごとき性質を満たす数が含まれているのか?√2など代数的無理数は可算集合で自然数と一対一対応できるということですが、πやeなど超越数は非可算集合でしょうから、Bのような性質を持つ数も超越数の一つとなるでしょう。が、本当に、超越数の中には、Bのごとき性質を持つ数があるのか?確かに、Bの構成方法というか、性質には、矛盾する点は見付けられないし、可能なことは自明にも思えますが、見付けられないとか、思えるでは厳密には保証されていることにならないでしょう。それとも、きちんとした保証があるのでしょうか?こちらが知らないだけで、チャンと数学を勉強すれば、それを学べるので、単に勉強不足なだけだと。
それとも、Bを数として扱って矛盾のないように整備されてきたのが現在の数学の公理体系ということなのでしょうか?もしそうだとすると、自然数より実数の方が濃度が高いということは、証明されることというより、そういう数として実数を定義し、それで矛盾のないように体系を整えてきたという方がより正確だと思えるのですが…。
順序立てて勉強すれば分かることかもしれませんが、ちょっとだけズルさせてもらって、この場を借りて疑問を提示した次第です。
A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
小数表記の全てが何らかの実数を表していることは、
高校程度の収束概念でも自明だけれど...
ちょっとだけ引っかかるのは、1=0.9999… 問題。
小数表記のほうが実数よりも多いことかな。
これは、リストに現れる小数を
末尾が 0000… になる場合は 9999… 型のほうに統一しておいて、
B も 0000… 型でないように構成できる
と言えば済む話ではあるけれども。
No.3
- 回答日時:
有理数コーシー列の同値類による実数の定義)
Q=(全有理数の集合)
有理数の数列
{a(n)}
に対して
任意の有理数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
m,n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
|a(m)-a(n)|<ε
となるとき
{a(n)}はコーシー列という
X=(全有理数のコーシー列の集合)
とする
{a(n)}∈X
{b(n)}∈X
に対して
任意の有理数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
|a(n)-b(n)|<ε
となるとき
{a(n)}と{b(n)}は同値
{a(n)}~{b(n)}
であるという
同値関係~を定める
Xの同値類の集合
R=X/~
を(全実数の集合)と定義する
{a1(n)}~{a2(n)}
{b1(n)}~{b2(n)}
ならば
{a1(n)+b1(n)}~{a2(n)+b2(n)}
{a1(n)b1(n)}~{a2(n)b2(n)}
だから
[{a(n)}]∈R=X/~
と
[{b(n)}]∈R=X/~
の
和(+)を
[{a(n)}]+[{b(n)}]=[{a(n)+b(n)}]
と
定義でき
積(*)を
[{a(n)}]*[{b(n)}]=[{a(n)b(n)}]
と
定義できる
[{a(n)}]∈R=X/~
と
[{b(n)}]∈R=X/~
に対して
任意の有理数ε>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
a_n-b_n<ε
となるとき
[{a(n)}]≦[{b(n)}]
と
順序(≦)を定義できる
和(+)積(*)順序(≦)によって
R=X/~は(全)順序体になる
有理数r∈Qとすべての項がrである定数列の同値類を同一視すると
r=[{r}]∈R=X/~
Q⊂R
となる
[{a(n)}]∈R=X/~
に対して
lim_{n→∞}a(n)=[{a(n)}]
となる
Amm≦4のときBm=8
Amm≧5のときBm=1
と
数列{Bm}を定義し
B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1~∞}B_k/10^k
とすると
1≦B_k≦8
s_n=Σ_{k=1~n}B_k/10^k
と
有理数列{s_n}を定義すると
任意の有理数ε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
m>n>n_0となる任意の自然数m,nに対して
10^n>n>n_0>1/ε
だから
|s_m-s_n|=Σ_{k=n+1~m}B_k/10^k<1/10^n<ε
だから
{s_n}は有理数のコーシー列だから
[{s_n}]∈R=X/~ が存在して
{s_n}は
実数
[{s_n}]
B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1~∞}B_k/10^k
に収束する
ご回答ありがとうございます。返事として的外れかもしれませんが、定理と公理とは同じカードの表裏みたいなもので、見方を変えればひっくり返るものと思います。対角線論法からは証明される定理のようなものでも、逆にBを含み得るように実数を定義したと観ることも必ずしも不合理ではないと感じます。時代から言えば、コーシーの方が先なので、恐らくですが、カント―ルはコーシーの実数の定義に対しても合理的であるから、ここで表記した数Bを設定することができたのかも知れませんね。
No.2
- 回答日時:
Amm≦4のときBm=8
Amm≧5のときBm=1
と
数列{Bm}を定義し
B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1~∞}B_k/10^k
とすると
1≦B_k≦8
s_n=Σ_{k=1~n}B_k/10^k
と
数列{s_n}を定義すると
0
≦s_n
=Σ_{k=1~n}B_k/10^k
≦Σ_{k=1~n}8/10^k
=(8/10)Σ_{k=1~n}1/10^(k-1)
<(8/10)Σ_{k=1~∞}1/10^(k-1)
=(8/10)/(1-1/10)
=8/9
<1
だから
数列{s_n}は上に有界
s_{n+1}-s_n=B_{n+1}/10^{n+1}>0
s_n<s_{n+1}
だから
数列{s_n}は上に有界な実数の単調増加数列だから
(実数の定義(コーシー列の同値類または切断)から導かれた定理により)
実数
B=0.B₁B₂…
=Σ_{k=1~∞}B_k/10^k
に収束する
No.1
- 回答日時:
Dedekind の切断を考えればいいんじゃね?
なお「Bのような性質を持つ数も超越数の一つとなるでしょう。」についてはあなたの勘違い. 「必ず超越数になる」とはいえない.
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 回答の意味について 4 2023/07/11 11:19
- 数学 回答の意味について 3 2023/07/06 14:14
- 数学 実数同士の対応における対角線論法について 6 2023/07/08 17:01
- 数学 実数同士の全単射写像について 2 2023/07/05 17:12
- 数学 ある方から頂いた回答について 1 2023/07/10 11:34
- 数学 すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル 3 2023/11/16 15:20
- 数学 すべての自然数とすべての実数を1対1で対応させる(すべての実数を一列に並べる)方法について 3 2023/05/26 17:14
- 数学 カントールの対角線論法について質問です。 63 2023/11/07 04:31
- 英語 人称代名詞の所有格が名詞の複数形を限定する範囲について 8 2021/12/29 13:16
- 統計学 場合の数を地道に数え上げずに計算するには 3 2021/11/23 02:14
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
プロが教えるわが家の防犯対策術!
ホームセキュリティのプロが、家庭の防犯対策を真剣に考える 2組のご夫婦へ実際の防犯対策術をご紹介!どうすれば家と家族を守れるのかを教えます!
-
すべての自然数とすべての実数を1対1に対応させる方法:ファイナル
数学
-
カントールの対角線論法について質問です。
数学
-
「自然数は無限」としてよいのか?
数学
-
-
4
フェルマーの最終定理
数学
-
5
ピタゴラス数a,b,cのある関係
数学
-
6
自明の証明
数学
-
7
『3ℓと5ℓで8ℓ』
数学
-
8
ピタゴラスの定理は辺の長さが虚数でも成り立ちますか
数学
-
9
整数問題について
数学
-
10
物理 計算 日本 来年 (2024 年) から 100 回目のうるう年を求めなさい。(注:2028
数学
-
11
数学の質問です loge 3=1.1になる成り行き教えて欲しいです
数学
-
12
4x+3x=7xって、xについての方程式ですよね? 式がいくつかあって、方程式がどれかを記号で選ぶ問
数学
-
13
絶対値の定義
数学
-
14
π=4?√2=2?
数学
-
15
Z⊕Z/Z
数学
-
16
数3の複素数のことです。 αとβという複素数があり、|α|=|β|=|α−β|=1であるとき、2β−
数学
-
17
イプシロンデルタ論法は成り立つか
数学
-
18
フェルマーの最終定理。 数学者は彼を「ほら吹き」と思わなかったほか?
数学
-
19
確率の達人おねがいします
数学
-
20
国会の数学的矛盾
数学
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ユーザー定義関数をアドイン登...
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
べき乗
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
等分除と包含除について 割り算...
-
平面曲線の特異点について
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
1未満と1以下の違い
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
フーリエ変換について質問です。
-
マイナス7は素数ですか?
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
日本語 ことば ひとまわり ふた...
-
閉区間の微分可能って?
-
Excel関数で、セル内の文字列の...
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
2進数の符号ビットの入った数...
-
動力学と運動学の違いって?
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
皆さん定義を教えてください 「...
-
無限から無限を引いたら何にな...
-
べき乗
-
「logx^2=2logx」が間違って...
-
「互いに素」の定義…「1と2は互...
-
なにしてるかわからない。。
-
ACCESS VBAでインポート定義の場所
-
p⇒q=(¬p)∨qについて
-
1未満と1以下の違い
-
ヘシアンが0の場合どうやって極...
-
三角関数(たとえばf(x)=sinxと...
-
eの0乗は1ってどういう原理です...
-
『質問の定義が分からないので...
-
内積を
-
最大元と極大元の定義の違いが...
-
ACCESS IIF関数 複数条件の設...
-
質問の定義が分からないので確...
-
自然数 整数 有理数 実数 加法 ...
-
e<3の証明を教えてください。
-
変数の宣言の名称を教えてくだ...
おすすめ情報