単振動、 単振り子の最下点の速さは、よくあるAωを使うことができませんよね？その理由は、そもそも単振

単振動、
単振り子の最下点の速さは、よくあるAωを使うことができませんよね？その理由は、そもそも単振り子の運動の捉え方はその運動を直線とみなしている(つまり、近似している)からでしょうか？得られた単振動の式から、速さを求めてみても、それは正確ではないですか？だから、エネルギー保存を使うのですか？

No.8 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/28 22:36

No.3 です。

#4さんへのお礼＞バネ振り子などの直線の運動では、そのはやさの最大値を求める時にAωを使えます。しかし、単振り子の場合はAωで、最大速度を求めると、例えば問題集なんかに載っている答えと合わないのです。

ばね振り子と、単振り子の「速度」の違いを理解していますか？

#3 に書いたように、
・ばね振り子：ばねに付けたおもりの速度です。
・単振り子：振り子の「揺れ角度」の速度、つまり「角速度」です。

#1 さんが書いているとおり、「角速度」を「おもりの速度」にするには、「振り子の糸の長さ」をかけてやる必要があります。
つまり
　v = rω
にしないといけません。

それが #3 に書いた

「角速度は
　Ω(t) = -θ0･ωsin(ωt)
です。最下点では
　θ(T) = -θ0･ωsin(ωT) = 0
なので
　ωT = π/2
であり、
　Ω(T) = -θ0･ωsin(π/2) = -θ0･ω = -θ0･ω√(g/L)
です。
これは「角速度」なので、「周速度」は
　V(T) = LΩ(T) = -θ0･ωL√(g/L) = -θ0･ω√(gL)
になります。」

ということです。

従って、単振り子のおもりの最下点での速度は
　Aω
ではなく、「振り子の糸の長さ：L」をかけた
　LAω
になります。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/28 18:44

重力下での振り子の運動は、単振動ではありません。

それを振れ幅が小さい場合に単振動で近似したものが
「単振り子」という考え方です。

振れ角をθと置くと、
振り子の運動方程式は L d²θ/dt² = -mg sinθ、
単振動の式は L d²θ/dt² = -mgθ です。
θ が小さければ θ ≒ sinθ という近似をした
ことになります。

振り子の運動が単振動でなくても
エネルギー保存則は成り立ちますから、
そっちから計算したほうが正確ですね。
最下点での速さについては、単振動近似でも厳密値と
答えが一致してしまうので、却って話がややこしいのですが。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/28 17:44

>例えば問題集なんかに載っている答えと合わない

単振り子の振り幅が大きくなると、振り子に加わる力が
振れ量 に比例しなくなるので、単振動ではなくなります。
振れ幅から速度を出すには力学的エネルギー保存則を使うのは
妥当でしょうね。時間に対する速度を出すのは大変ですが・・・

例えば 長さ R の単振り子が最大角度θmaxまで振れるとすると
力学的エネルギー保存則から x = 0 での速度 v は

(1/2)mv^2 = mgR(1-cosθmax)
v = √(2gR(1-cosθ))
ですね。

運動方程式は 振り子の回転角を θとすると
d^2θ/dt^2 = -(g/R)sinθ
これを使って計算すると、結構大きな θmax まで
振動周期はあまり変わらないみたいですね。

https://www.ne.jp/asahi/tokyo/nkgw/www_2/gakusyu …

No.5 回答者： finalbento 回答日時： 2023/12/28 10:30

他の方の回答へのお礼コメントに「単振り子だと微分方程式が絡んで」とありましたが、微分方程式が絡む物理の問題は単振り子だけではありません。

そもそもニュートンの運動方程式

F=ma

自体が微分方程式です。式の中の加速度aとは速度vを時間で微分したものなので、運動方程式を解くと言う事は(基本的には)微分方程式を解くと言う事になります。高校の物理でやる運動方程式を解く問題は加速度を定数扱いできる問題だけを扱っているため微分方程式として扱わなくても済むと言うだけです。

これに限らず、物理で出て来る法則の多くは微分方程式で表されます。なので「微分方程式が関係しない物理の問題はない」と言い切って差し支えないくらいです。

この回答へのお礼

そうなんですか！ありがとうございます。これからの物理を学んで行く上での視野？が広がりました！

お礼日時：2023/12/28 16:54

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/12/28 09:05

単純に、単振動を

x = Asinωt (A: 振幅、ω: 各周波数)
とすると
v = dx/dt = Aωcosωt

単振り子の最下点 は x =0 の時だから
sinωt = 0 → cosωt=±1

v = ±Aω

そういう話ではない？

この回答へのお礼

そのことを言っています！
バネ振り子などの直線の運動では、そのはやさの最大値を求める時にAωを使えます。しかし、単振り子の場合はAωで、最大速度を求めると、例えば問題集なんかに載っている答えと合わないのです。そして、それはなんでなのかをきいていました。(自分の考察を一応質問の中に入れてます)

お礼日時：2023/12/28 16:52

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/12/27 18:46

＞単振り子の最下点の速さは、よくあるAωを使うことができませんよね？

意味不明です。
「よくある」という意味も分かりませんし、そこでいう「Aω」が何を指すのかもわかりません。

（１）より簡単な場合として、単振動が「ばね振り子」であれば
　mx'' = -kx
から、一般解が
　x = Asin(ωt) + Bcos(ωt)　　　　①
　ω = √(m/k)　　　　　　　　　　②
になります。

初期条件として、t=0 のとき x=x0 に引きのばして静止状態から手を放すとすれば（x>0 のとき引き伸ばし、x0<0 のとき圧縮）
　x(0) = B = x0
なので、①は
　x(t) = Asin(ωt) + x0･cos(ωt)　　　　③
になります。

速度は③を t で微分して
　v(t) = dx/dt = Aωcos(ωt) - x0･ωsin(ωt)　　　④
t=0 のとき静止しているので
　v(0) = Aω = 0
ω≠0 なので
　A=0

よって、③④は
　x(t) = x0･cos(ωt)　　　　⑤
　v(t) = -x0･ωsin(ωt)　　　⑥
ということになります。

ばね振り子が「自然長」になったときには
　x(T) = 0
なので
　x0･cos(ωT) = 0
最初にこうなるのは
　ωT = π/2
のとき。
そのときの速度は、⑥より
　v(T) = -x0･ωsin(π/2) = -x0･ω = -x0√(m/k)　
となります。
マイナスが付くのは、x0>0 （引っ張った状態から放す）のときには「縮み方向の速度」、
x0<0 （縮めた状態から放す）のときには「伸び方向の速度」
であることを示します。


（２）同様に、「単振り子」の場合にも「近似」はしますが、円周角が
　θ(t) = θ0･cos(ωt)
　ω = √(g/L)
　(g：重力加速度、L：振り子の長さ）
になりますから、角速度は
　Ω(t) = -θ0･ωsin(ωt)
です。最下点では
　θ(T) = -θ0･ωsin(ωT) = 0
なので
　ωT = π/2
であり、
　Ω(T) = -θ0･ωsin(π/2) = -θ0･ω = -θ0･ω√(g/L)
です。
これは「角速度」なので、「周速度」は
　V(T) = LΩ(T) = -θ0･ωL√(g/L) = -θ0･ω√(gL)
になります。


高校物理では、運動方程式としての微分方程式を解くことができないので、「瞬時値」だけを「エネルギー保存」で求めているだけです。
上記のように微分方程式を解けば、任意の時刻の位置、速度を求めることができます。

この回答へのお礼

単振り子だと微分方程式が絡んで運動の式が作られるのですね。微分方程式ができないなら、エネルギー保存を使う、分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2023/12/27 20:26

No.2 回答者： mimon01 回答日時： 2023/12/27 18:25

単振り子の実験の場合、ふり角度を十分に小さくすることを前提としていますから、直線運動で近似します。

もっと精度の高い、ボルダの振り子でも同様です。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2023/12/27 18:23

ωと言うのは、角速度[rad/s]を表し、

等速円運動している場合の先端速度(秒当たりの移動長さ)は、
円運動の半径を乗じれば求められ、
秒あたりに移動する円弧の長さになります。

振り子の場合は重力により最下点が最高速度になり、角度で変化するため、
それが持続した場合の、秒あたりに移動する円弧の長さが速度になります。