次の極限がわかりません。ご教授ください。 lim(x,y)→(1,1) (x(1-y)-y(1-x)

次の極限がわかりません。ご教授ください。
lim(x,y)→(1,1) (x(1-y)-y(1-x)-x+y)/((1-x)(1-y)(x-y))

No.6 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/01/26 18:18

極限をとる前に、式を整理しよう。

lim[(x,y)→(1,1)] (x(1-y)-y(1-x)-x+y)/((1-x)(1-y)(x-y))
= lim[(x,y)→(1,1)] 0
= 0.

x=1, y=1, x=y は、可除特異点なので、気にするまでもない。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/26 16:59

分子は常にゼロだから極限値はゼロじゃないのかな？

(1, 1) の近傍に未定義域があったらダメなんでしたっけ？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/01/26 16:24

lim_{(x,y)→(1,1)} {x(1-y)-y(1-x)-x+y}/((1-x)(1-y)(x-y))

=lim_{(x,y)→(1,1)}(x-xy-y+yx-x+y)/{(1-x)(1-y)(x-y)}
=lim_{(x,y)→(1,1)}(x-x-xy-y+yx+y)/{(1-x)(1-y)(x-y)}
=lim_{(x,y)→(1,1)}(x-x+yx-xy-y+y)/{(1-x)(1-y)(x-y)}
=lim_{(x,y)→(1,1)}(x-x+xy-xy-y+y)/{(1-x)(1-y)(x-y)}
=lim_{(x,y)→(1,1)}(0+0+0)/{(1-x)(1-y)(x-y)}
=lim_{(x,y)→(1,1)}0/{(1-x)(1-y)(x-y)}
=lim_{(x,y)→(1,1)}0
=0

No.3 回答者： fadklsj 回答日時： 2024/01/26 11:46

分母が 0 になるとき、関数の値は発散します。

これは、分母が 0 になるとき、関数の値が任意の値に近づくことができるためです。

例えば、f(x) = 1/x を考えてみましょう。x = 0 で f(x) は発散します。これは、x を 0 に近づけると、f(x) は任意の値に近づくことができるためです。

極限値が存在するためには、関数の値が任意の値に近づくことがないようにする必要があります。そのため、分母が 0 にならないようにする必要があります。

なお、分母が 0 にならないからといって、極限値が存在しないとは限りません。例えば、f(x) = x^2/(x-1) を考えてみましょう。x = 1 で f(x) は 0 に近づきますが、分母が 0 にはなりません。この場合、極限値は存在します。

ただし、分母が 0 になるとき、極限値が存在しないということはよくあります。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/01/26 11:09

(x≠1かつy≠1かつx≠y) のとき、 (x(1-y)-y(1-x)-x+y)/((1-x)(1-y)(x-y)) = 0 であり、

(x=1またはy=1またはx=y) のとき、 (x(1-y)-y(1-x)-x+y)/((1-x)(1-y)(x-y))は定義されない。

言い換えれば、この関数をf(x,y)とすると、その定義域Dは
　　D = {(x,y) | x, yは実数、かつ、x≠1かつy≠1かつx≠y}
であり、
　　任意の(x,y)について、(x,y)∈D ならば f(x,y) = 0
です。

　一方、「lim(x,y)→(1,1) 」という極限は、「(x,y)が(1,1)へ至る経路でありさえすれば、どんな経路であっても同じ値に収束する」という場合に限って存在します。

　そこで、(x,y) が x=1を保ったまま (1,1)に近づく、という経路を考えますと、その経路は定義域の外なので、f(x,y)は値を持たない。

というわけで、極限は存在しません。

No.1 回答者： fadklsj 回答日時： 2024/01/26 09:43

極限値を求めるには、極限値が存在することを確認する必要があります。

まず、分母の (1-x)(1-y)(x-y) は、x=1, y=1 で 0 となります。しかし、x=1, y=1 以外の点では、分母は常に 0 より大きい値をとります。したがって、分母が 0 となることはありません。

分母が 0 となることはないということは、極限値が存在する条件を満たしません。したがって、極限値は 不定 となります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
分母が0にならなければ、なぜ極限値が存在しないのですか？

お礼日時：2024/01/26 10:00