数学IIのこの問題を解説して欲しいです 最終的な答えは x²+y²-2x-6y-15=0 です

数学IIのこの問題を解説して欲しいです
最終的な答えは x²+y²-2x-6y-15=0 です

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2024/02/17 12:15

中心を (p, q)、半径を r とする円の方程式は

　(x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2
と書けます。

これが A(-2, 7) を通るのだから
　(-2 - p)^2 + (7 - q)^2 = r^2
→　p^2 + 4p + 4 + q^2 - 14q + 49 = r^2
→　p^2 + 4p + q^2 - 14q + 53 = r^2　　　　　①

B(1, -2) を通るのだから
　(1 - p)^2 + (-2 - q)^2 = r^2
→　p^2 - 2p + 1 + q^2 + 4q + 4 = r^2
→　p^2 - 2p + q^2 + 4q + 5 = r^2　　　　　②

C(5, 0) を通るのだから
　(5 - p)^2 + (0 - q)^2 = r^2
→　p^2 - 10p + 25 + q^2 = r^2
→　p^2 - 10p + q^2 + 25 = r^2　　　　　③

この①～③の連立方程式を解いて p, q, r を求めればよい。

① - ② より
　6p - 18q + 48 = 0
→　p = 3q - 8　　　　　④

① - ③ より
　14p - 14q + 28 = 0
→　p = q - 2　　　　　　⑤

④、⑤より
　3q - 8 = q - 2
→　2q = 6
→　q = 3

⑤に代入して
　p = 1

これらを③に代入して
　r^2 = 1 - 10 + 9 + 25 = 25

よって、円の方程式は
　(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 25　　　　⑥

展開すれば
　x^2 + 2x + 1 + y^2 + 6y + 9 = 25
→　x^2 + y^2 - 2x - 6y - 15 = 0　　　　⑦

でも、「円の方程式」としては、⑦と書くよりも⑥の方が分かりやすく適切かと思います。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2024/02/16 18:46

円の方程式は (x-a)²+(y-b)²=r² の形になりますね。

これを展開すれば x²+y²+nx+my+k=0 の形になる筈です。
この x, y に 問題の座標を 代入すれば n, m、k の、
１次連立方程式が出来ますから、これを解けば、
円の方程式が 求められる筈ですね。
以上 問題の解説のみ。