No.4ベストアンサー
- 回答日時:
∑[k=0→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n …… (2)
は
初項1,公比1/2の等比数列のn+1項の和だから
だから
∑[k=0→n]1/2^k
=(1-1/2^{n+1})/(1-1/2)
=2(1-1/2^{n+1})
=
2-(1/2^n)
1+1/2+1/3+1/4=2+1/12
だから
n≧4のとき
∑[k=0→n]1/2^k
=2-(1/2^n)
<2
<2+1/12
=1+1/2+1/3+1/4
≦∑[k=1→n]1/k
No.3
- 回答日時:
∑[k=0→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^n …… (2)
は
初項1,公比1/2の等比数列のn+1項の和だから
だから
∑[k=0→n]1/2^k
=(1-1/2^{n+1})/(1-1/2)
=2(1-1/2^{n+1})
=
2-(1/2^n)
∑[k=0→n]1/2^k=2-(1/2^n)<2<∑[k=1→n]1/k
No.2
- 回答日時:
No.1 です。
失礼、加算の範囲が一方は
1 → n
他方は
0 → n
でしたね。
なので、求めたいものは
∑[k=0→n]1/2^k = 1 + ∑[k=1→n]1/2^k
との比較ですね。
なので、比較は
n = 1 のとき
∑[k=1→n]1/k = 1
1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 = 3/2
なので
∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k
n = 2 のとき
∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 = 3/2
1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/4 = 3/2 + 1/4
なので
∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k
n = 3 のとき
∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 + 1/3 = 1 + 5/6
1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 = 1 + 7/8
なので
∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k
n = 4 のとき
∑[k=1→n]1/k = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 1 + 13/12
1 + ∑[k=1→n]1/2^k = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 1 + 15/16
なので、ここで逆転して
∑[k=1→n]1/k > ∑[k=0→n]1/2^k
以降は
1/k > 1/2^k
なので、再度逆転することはない。
従って、
0 < n < 4 のとき
∑[k=1→n]1/k < ∑[k=0→n]1/2^k
4 ≦ n のとき
∑[k=1→n]1/k > ∑[k=0→n]1/2^k
No.1
- 回答日時:
項数 n が等しいのなら、
1/k と 1/2^k
の比較をすればよい。
(1/k)/(1/2^k) = (2^k) / k
k = 1 のとき 2/1 > 1
k = 2 のとき 2^2 / 2 > 1
k = 3 のとき 2^3 / 3 > 1
・・・
だから
(1/k)/(1/2^k) > 1
つまり
(1/k) > (1/2^k)
それを加算したものも
∑[k=1→n]1/k > ∑[k=0→n]1/2^k
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