これってどうやって計算したのか教えてください うまくできません…

これってどうやって計算したのか教えてください
うまくできません…

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/21 18:03

( { n(n+1)/2 }^2 )/n^4 = (1/2^2)( n(n+1)/2 )^2/(n^2)^2

　　　　　　　　　　= (1/4)( n(n+1) / n^2 )^2
　　　　　　　　　　= (1/4)( (n+1)/n )^2
　　　　　　　　　　= (1/4)( 1+1/n )^2.
分数式の計算けです。
この部分の式変形に lim に関する考察は登場しません。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/21 11:43

訂正と追加です

2の続き
＝(1/4)×{1+(1/n)}×{1+(1/n)}
＝(1/4){1+(1/n)}²

このことから、左の赤丸部分について
分子/分母＝分子/1
＝分子
＝(1/4){1+(1/n)}²
となります

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/04/21 11:37

通分の要領で

分母と分子にそれぞれ1/n⁴を掛けます
すると
分母＝n⁴×(1/n⁴)＝1
分子＝{n(n+1)/2}²×(1/n⁴)
＝{n(n+1)/2}{n(n+1)/2}×(1/n⁴)
＝{n×n×(n+1)×(n+1)×(1/2)×(1/2)}
×(1/n⁴)
＝(1/4)×(n+1)²×n²×(1/n⁴)…1
です
n²と1/n⁴で約分すると1/n²なので
1の続き
＝(1/4)×(n+1)²×(1/n²)
＝(1/4)×(n+1)×(1/n)×(n+1)×(1/n)…2
分配法則により
(n+1)×(1/n)＝(n/n)+(1/n)＝1+(1/n)
なので
2の続き
＝(1/4)×{1+(1/n)}×{1+(1/n)}
＝(1/4){1+(1/n)²}

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/04/21 11:34

赤丸の中だけ。

まず、定数 (1/2) の2乗は外に出してしまいましょう。それが「1/4」。

残るのは
　[n(n + 1)]^2 / n^4

分母を分子の「2乗」の中に入れてしまえば

= { n(n + 1) / n^2 }^2
= { (n + 1) / n }^2
= { 1 + 1/n }^2